我的精确素数定理正确无比

maguolianga

我的精确素数定理正确无比

山东章丘一职专 马国梁

素数在数的天空中灿若星辰，竞相生辉，十分引人注目。可是在自然数的序列中，素数的出现却是那样的不守规则，总是出人意外。
多少年来，人们只能眼睁睁的看着素数的大小无限增长，但对它究竟遵循什么样的规律却是一无所知。一切企图给它们整顿秩序的努力都失败了，以致我们至今也没有找到一个可以推算新素数到无穷大的有效公式。
素数的序列曲线是一条没有规则的上升折线，且宽度越来越大。至于有没有一条能够统领全体的中轴线，谁也不敢轻易断言。
在小时曾被誉为“神童”的数学家高斯根据自己的观察和计算，曾经提出一个猜想：在自然数轴上，在x以内的素数平均密度与该点的自然对数成反比，即
    N/x ∝ 1/lnx
这在当时是一个很了不起的令人称奇的发现。虽然它很好理解，但却无法证明。直到百年以后，才由两位数学家先后给出两份独立的证明，使之成为素数定理。但其证明过程十分复杂，用的是很难的高等数学方法。
到了1949年，即过了五十年之后，才又有两位数学家给出素数定理的初等证明。但即便如此，这样的证明让一般人看上去仍然十分费解。
笔者在研究了上述这些情况后认为：之所以如此是因为大家总是从素数的表现上进行分析研究，而没有从素数的产生机制上进行深入研究。虽然我们已有素数个数的计算公式
N = x (1- 1/2)(1- 2/3)(1- 4/5) …… [1- (Pr -1) / Pr ]           Pr ≤ sqrt(x)
可就是没人想到：在某个素数Pi之后的一段距离，如果被它前面的所有素数筛漏的只剩下一个单位的长度时，那么就要产生新的素数了。其尾端就是新素数的平均位置。即

因为  [Pi+1 - Pi ][1/2] [2/3] [4/5] …… [ (Pr – 1) / Pr] = 1       Pr ≈ sqrt(Pi)

所以  Pi+1 = Pi + [2/1] [3/2] [5/4] …… [Pr / (Pr –1) ]

我们采用电子计算机通过数字计算可以证明式中的平均间隔

ΔP = [2/1] [3/2] [5/4] …… [Pr / (Pr –1) ]

≈ [3/2] [5/4] [7/6] …… [Pi / (Pi –1) ]

= ( Pi - Pi -1 ) Pi / (Pi- 1 ) ≈ ln Pi

所以得  Pi+1 = Pi + ln Pi

各素数的平均间隔（周期）的倒数就是其平均密度（频率）。
由此可得素数个数的计算公式是
   N =∫(1/ lnx) dx = li(x)       （积分区间是0 → x ）
由li(x) 所得到的函数图象即黎曼曲线。可是通过比较证明：此曲线与实际的素数曲线有着较大的差异，且越往后相距越远。计算的素数个数N总是多于实际的素数个数，这就说明素数间隔ln Pi 都是偏小的。可是如何进行修正，笔者曾为此花费了很大心思。素数的平均间隔究竟该增加多少呢？

在lnPi 的基础上乘以（1+1/ Pi ）显然太小了，即便乘以（1+ ln Pi /2Pi）也仍然偏小。

后来我发现：若是除以[1–1/sqrt(2Pi)]，那么就可以和实际的素数曲线吻合的很好，可惜它只适用于初期很小的一段（Pi ≤ 100 ）；为了适用于更大的范围，我先后将该因子改成[1- 0.65 / sqrt(Pi )]，改成 [1- 0.62 / sqrt(Pi )]，直到改成现在的[1- 0.5 / sqrt(Pi )] 。即

ΔP = lnPi / [1-0.5/sqrt(Pi) ]

这就是我极力推崇的精确的素数定理。
它的倒数就是最为精确的素数密度。用它所推出的素数个数计算公式为
N = li(x) - 0.5 li[sqrt(x)]   
数据计算证明，其结果与真实的素数个数π(x) 非常接近。
特别是当我从有关资料上看到：在x = 900万之前它们的曲线“相交不少于19次”的说法之后，我就更相信它的正确性了。
再后来我又得到了更大的数据资料。从这些数据可知：
当x ≤ 10^22 时，[ li(x) - π(x) ] / [0.5 li[sqrt(x)]一直在1的上下振荡。（详见附图）
因此我就进一步琢磨：这到底是为什么呢？系数0.5难道是偶然的吗？
后来我终于豁然开朗了。原来是我们忽略了一个“尾倍率”。
因为任何素数在开方后都不可能再是一个整数，更不可能是一个素数，所以我们在筛漏各个素数及其倍数时，所用最大的素数一定小于sqrt(Pi ) ，这样就使我们算出的素数平均间隔偏小了。
因此我们必须改用收尾法进行计算，采用大于sqrt(Pi )的第一个素数。这样以来素数的平均间隔公式就变成了

  ΔP = lnPi sqrt(Pi)/ [(sqrt(Pi) – 0.5) ] = lnPi / [1- 0.5/sqrt(Pi)]

    Pi+1 = Pi+ ln Pi / [1- 0.5/sqrt(Pi) ]

未来的历史必将证明：这个精确的素数定理真的正确无比。
由上式所决定的序列曲线即是真实素数曲线的中轴线，它一定能够将之贯穿到底。
虽然素数的序列曲线是一条无规则折线，但我们还是可以根据二项分布的规律算出它最可能的宽度。即         H = 2 sqrt(i)
它在中轴线两侧的振幅是   A = 0.5H = sqrt(i) ≈ sqrt(x/lnx) ＞ 0.5 li[sqrt(x)] ≈ sqrt(x)/lnx
       1/sqrt(lnx) ＞ 1/lnx
由此可见：即便是黎曼曲线，也将有可能从素数曲线中穿越无数次。

                                                          （ 2016-7-11 ）

tysh670407

参考一下这个表格。

llz2008

http://www.mathchina.com/bbs/for ... ;extra=&page=12

tysh670407

给定区间理论素数函数图和素数分布概率函数图。

tysh670407

给定区间理论与实际素数对比图。

tysh670407

点击查看原文：http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D3
2-30区间理论素数与实际素数对比图。