|
|
无效推理是悖论成因
——由A∧¬ A不能推出A和¬ A
杨六省
（陕西省长安师范学校 西安 710100）
摘要：目的 证明无效推理是悖论成因。方法 以假设数学具有协调性为条件，揭示有效推理概念应具有的意涵。结果 由A到¬ A的推理，不是有效推理；由A∧¬ A不能推出A和¬ A。结论 无效推理是悖论成因；可知性悖论（菲奇悖论）的推理是无效的，可予以消解。
关键词：悖论成因；悖论定义；不能推出；矛盾律；相容性；无效推理
中图分类号：O144.2 文献标识码： A 文章编码：
0 引言
就我所知，国内所有知名学者在给悖论下定义时，都有诸如“通过有效的逻辑推导”[1]之类的表述，至于悖论成因，那就只有归结为虚假前提了。我不同意这种观点，反例是，意外考试悖论，假设最后一天考试，前提并不虚假，但结论假（指考试预告不可实现这一结论为假），不是有效推理；再如，对于芝诺关于多的悖论，“柏拉图立刻反驳说，芝诺在这里犯有歧义谬误。…该悖论就这样被柏拉图消解了。” [2]078-079我认为，虚假前提既不是悖论发生的必要条件（例如，意外考试悖论，前提可真），也不是悖论发生的充分条件（例如，考试期限只有一天的情况，预告条件就是A∧¬ A之类型，虚假的——看不出这一点，就不知其中有圈套，用它进行推理，就是自投悖论罗网，相反，如果你明白了本文的副标题，就不会……；再如，说谎者悖论，前提也是虚假的，但如果你知道在什么情况下不该进行推理，就不会……（祥见文［3］）），无效推理才是悖论成因。本文的目的，就是对此结论给出（一般性的）证明。
1 讨论
1.1 我的悖论定义
笔者给出的悖论定义（狭义的，即学术型的）是：对于一个概念、命题或语句等，如果通过一个看似合理的推理：①由A推出了¬ A（或由¬ A推出了A）；② 由B 既推出了A 又推出了¬ A；③推出了一个与客观事实相矛盾的结论，则称这里的A ∧¬ A 及与客观事实相矛盾的结论为悖论。
悖论定义蕴涵如下内容：①基于A ∧ ¬ A违反逻辑基本规律以及逻辑不可以与客观存在相违背的原则，悖论是逻辑矛盾。②推理是悖论发生的载体，所谓消解悖论，就是揭示致使推理无效的具体理由（注：关于说谎者等悖论，著名数理逻辑学家克林写道：“没有一个人能够直接指出一个大家都一致同意的谬误，而成功的解决这些悖论。”[4] 此说法，无疑是对本文观点的支持，即悖论成因是无效推理）。③消解悖论纯粹是个逻辑范畴的问题，它不解决具体的知识问题，例如，归纳悖论的消解，就不涉及休谟问题的解决，犹如揭示“点石成金”魔术的破绽，并不涉及如何生产金子的问题。④由于悖论是无效推理的产物，所以，它应当得到消解，不存在无法解决的悖论，因为真理是可知的。
有必要一提的是，《悖论——破解科学史上最复杂的9大谜团》[5] 一书，第014页指出，“这句话是假的”之陈述，称之为“真悖论”，这种悖论是无法解决的；外祖父悖论的情况也是如此，尽管人们知道推理前提是虚假的，同样由于搞不清推理中的错误具体出在哪里，所以，该书第008页明确指出，“外祖父悖论”是个标准的无解悖论。对于该书的这一说法，我持不同意见：关于说谎者悖论，我的解决见文［3］；关于外祖父悖论，我的研究结论是，该悖论发生的原因同样是基于不合理的推理。
1.2 无效推理是悖论成因
文［6］写道：“一个有效的推理，其前提真而结论假是不可能的。”那么，前提假呢？文［4］同处又写道：有效推理是指“前提蕴涵着结论的推理”。不难知道，有效推理的概念，与前提的真假无关。
（1）由A推出¬ A（或由¬ A推出A）的情况
由A推出¬ A（或由¬ A推出A）的情况，显然不符合有效推理是指“前提蕴涵着结论的推理”，因为它们与逻辑基本规律是相悖的。数学要想是协调的，其中的每个概念在整体中也必须是协调的；但如果我们认可由A推出¬ A（或由¬ A推出A）是有效推理，则必会导致数学不可能是协调的，因此，由A到¬ A（或由¬ A到A）的推理，是无效推理。
（2）由推理前提B既推出C又推出¬ C的情况
既然推理结论C∧¬ C是个矛盾，那么，由B到C∧¬ C的推理，若是有效推理，其前提协调而结论不协调是不可能的，故推理前提B不可能不包含矛盾。于是，我们把推理前提B记作A∧¬ A。
一直以来，人们存在着一种误解，以为由条件A∧¬ A既可推出A又可推出¬ A，其实这是错误的。希尔伯特说，“如果一个概念具有矛盾的属性，那我就认为这概念在数学上不存在”[7]52。因此， 由于A∧¬ A内含矛盾，故它不可能存在。如果由A∧¬ A既可推出A又可推出¬ A ，即是说，由不存在之物可以推出存在或可能存在之物，但这是不可能的。对于上述观点，笔者给出如下证明：如果由A∧¬ A可以推出A，根据矛盾律，¬ A不可能成立，但这与A∧¬ A矛盾，故由A∧¬ A不可能推出A；同理，由A∧¬ A也不可能推出¬ A（注：根据逆否命题关系及归谬法也可证明上面两点）。这就是说，如果给出的条件是A∧¬ A，则当你由A和¬ A展开推理时，你已经犯了“不能推出”的逻辑错误。
无论A（或¬ A）是真是假，它并不排斥排中律；相反，“A∧¬ A”则否，它是明明白白的否定排中律。据此，以及上段关于由A∧¬ A不能推出A和¬ A之结论，我们说，A∧¬ A不蕴涵A，也不蕴涵¬ A，或者换一种说法，A∧¬ A与A以及与¬ A，是不相容的。
在推理过程中，只要有一个推理环节，其前提与结论之间不是蕴涵关系，则不仅这个环节的推理，而且整个的推理都不是有效推理。基于由A∧¬ A到A和 ¬A的推理不是有效推理以及整个推理过程既会用到A又会用到¬A，故由前提A∧¬ A到最后矛盾结论C∧¬C的推理，不是有效推理。基于以上分析和悖论的定义，我们说，在推理前提是A∧¬ A的情况下，导致悖论发生的推理不是有效推理。
1.3可知性悖论（菲奇悖论）的推理是无效的
文［2］第238-239页有如下介绍内容：
菲奇（B.F.Fitch）于1963年谈到，从他的一份手稿（后来从未发表）的审稿意见中，他得知了关于“存在着不可知的真理”的下述证明。据档案记载，这位审稿人就是著名的逻辑学家丘奇（Alonzo Church）,其证明可简述如下：
假设存在一个真命题，其形式是“p但p不是已知的”。虽然这个句子是不含逻辑矛盾，但认知逻辑的最温和的原则也蕴涵着：这种形式的句子是不可知的。特别是，利用两个最无争议的认知逻辑原理KE（“知识蕴涵真理”）和KD（“知识对合取式分配”）就足以给出一个简单的证明：某些真理是不可知的。证明如下：
（1）Ki（p∧¬ Kip ） 假设
（2）Kip∧Ki¬ Kip 1，KD
（3）Kip 2，∧消去
（4）Ki¬ Kip 2，∧消去
（5）¬ Kip 4，KE
（6）Kip∧¬ Kip 3，5，∧引入
（7）¬ Ki（p∧¬ Kip ） 1 , 6，归谬法
（7）不依赖于任何假设，是一个必然真理。它所说的是：“p但p不是已知的”是一个不知道的真理。（转引完）
笔者评析： 由于由A∧¬ A既不可能推出A又不可能推出¬ A ，也就是说，对于A∧B ,当B=¬ A时，关于“∧”的消去法并不成立。所以，由（2）推不出（3）和（4），从而（5）也不成立；从而（6）不成立，（7）不成立。总之，引文中给出的推理是无效的。
基于以上分析，可知性悖论（菲奇悖论）的推理是无效的，故该悖论可予以消解。
2 结论
①由A到¬ A的推理，不是有效推理；②由A∧¬ A不能推出A和¬ A；③无效推理是悖论成因；④可知性悖论（菲奇悖论）的推理是无效的，故该悖论可予以消解。
关于一个重要问题的引申：由A到¬ A的推理，不可能是有效推理，但哥德尔在他的不完全性定理的证明中，就有形如由A到 ¬ A的推理，因此，哥德尔证明应该被否决（导致哥德尔证明无效的具体理由，参见文［3］）。
参考文献：
[1] 马佩．再论悖论的几个问题[J]．中州学刊，2001（1）．
[2] 陈波．悖论研究[M]．北京：北京大学出版社，2014．
[3] 杨六省．对哥德尔不完全性定理的质疑[J]．前沿科学，2014（1）：80-89．
[4] S．C．克林尼．数学基础[M]．转引自林夏水主编《数学哲学译文集》．北京：知识出版社，1986:93．
[5] [英]吉姆．艾尔-哈利利．悖论——破解科学史上最复杂的9大谜团[M]．戴凡惟译．北京：中国青年出版社，2014年．
[6] 彭漪涟，马钦荣主编，逻辑学大辞典 [M]．上海：上海辞书出版社，2004：340．
[7] 希尔伯特.数学问题［M］．李文林,袁向东,编译.大连:大连理工大学出版社，2009.
本帖首先发布于邓珠平《科学网》博客
|
|
IP卡
狗仔卡
发表于 2016-7-15 19:24
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
显身卡
楼主