集合，映射，一一对应， 无穷大

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/10/22 03:19pm 第 3 次编辑]

估计很少有人认为自己不知道这些概念。其实要真说清楚它们还是很繁琐的。这方面的书到处都是。定力不足可能也看不下去。这里就侃侃它们。旨在引起讨论，在讨论中澄清概念。
集合就是把一些对象当作一个集体。例如本论坛使用过的用户名，  x^2+x-1=0 的解的全体，正偶数全体等等都是集合的例子。
如果 A， B 是两个非空集合， f 是一个法则，使得 每个 A 中的元素 x 都有 B 中的元素 f(x) 与之对应， 则称法则 f 为 A 到 B 的映射。 记作 f: A→ B
我们称 A 为 f 的定义域， B为 f 的值域。f(x) 叫作 f 在 x 的值。 映射又称为函数。特别当 A, B 的元素都是数时常称映射为函数。
例如某电影院某场电影的电影票确定了该场观众到座位的一个映射。
f(x) = x^2 确定了 实数全体到非负实数全体的一个映射。
如果映射 f: A→ B 满足 f(x)=f(y) → x = y, 即 x ≠ y → f(x)≠f(y), 则称 f 为单射。 单射就是把不同的元素对应不同的值的映射。
如果映射 f: A→ B 满足 B = {f(x) | x ∈ A }, 即对B 的每个元素y，都有A的某元素x使得 y = f(x). 则称 f 是满射。  【这里我们用 {f(x) | x ∈ A } 表示 f 的值的全体 】
如果 f 既是单射又是满射，则称f是双射，亦称A与B有一一对应 f, f 是 A到B的一一对应。
例如 正整数全体到正偶数全体有一个一一对应： h(n)=2n. 由于正偶数全体是正整数全体的真子集，我们看到当集合的元素的‘个数’非有限的时候，它可能会与自己的一个真子集一一对应。
上述电影票的例子确定了一个单射，
上述的平方函数是一个满射。
我们来证明 h 是正整数全体到正偶数全体的一个一一对应：
设 m,n 是不同的正整数， 那么 2m 与 2n 也不同， 所以h是单射。
设 t 是一个正偶数， 那么 s = t/2 是正整数而且 h(s) = 2s = t. 所以 h 是满射进而是双射。
告一段落。

elimqiu

一一对应就是一个萝卜一个坑，没有萝卜缺少坑，没有空坑缺萝卜。
肥缺和贪官基本上一一对应。（给点感觉，说笑罢了）

elimqiu

为什么玩数学会玩到集合那里？不是因为响应“全世界无产者联合起来”的号召，也不是组织部的新官要“组织照顾不要组织纪律”， 集合实在就是我们无时不依赖的枚举的数学概括。
在形式逻辑中我们知道任何一个具体概念都有内涵和外延。每个这种概念的外延就构成一个集合。可以想见，如果我们有一套集合运算的代数法则，那么我们就可以对概念进行代数运算。这实在是很了不起的文明的进步不是吗？ 进一步我们就可以让计算机帮我们推理了。
你看这个不起眼的集合概念竟然是如此举足轻重！

elimqiu

对于映射 f: A→ B， 设 E 是 A 的子集， 称 f(E) = { f(x) | x ∈ E } 为 E 在映射 f 下的像。f(E) 就是f 对于E的元素的值的全体。
f(A) 叫作 f 的像。
定理： 如果f 是单射，那么 f 是 A 到 f(A) 的一一对应。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
例如定义
H: N+ → N+ 为 H(n) = 2n
其中 N+ = {1,2,3,…} 是正整数全体，则 H是单射， H(N+) = {2,4,6,…} 是正偶数全体。 H 确定了 正整数全体到正偶数全体的一一对应。

申一言

     康托？？？？？？？？？？？？？？？？？？
     铁托！！！！！！！！！！！！！！！！！！
     托儿？！？！？！？！？！？！？！？！？！

elimqiu

楼上的凸显定力不足啊。
试试面壁，打坐，站桩？
不要放弃国粹噢

elimqiu

继续我们关于一一对应的讨论。
如果 f: A →B 是一个单射，那么我们知道 f 是 A 到 f(A)的一一对应。
这个对应确定了从 f(A) 到 A 的一个对应 g: f(A) → A
使得 g(f(x)) = x 在 A 上恒成立。f(g(y)) = y 在 f(A) 上恒成立。
这事情有点绕，其实还是很简单的。 把 A 当作萝卜的集合， 那么 f(A) 是坑的集合，
f是从萝卜集合到坑的集合的一一对应， g是从坑的集合到萝卜的集合的一一对应。
g(f(x)) = x 是说 从萝卜找到坑，又从坑找回萝卜。
f(g(y)) = y 是说 从坑找到萝卜，再由萝卜找回坑。
看着实在是废话连篇对吧？ 数学推理就是一连串的废话量变到质变么。不信解个方程试试。看哪一步不是废话？
本帖的 g 叫作 f 的逆映射或者叫反函数。

drc2000

elimqiu做了一个很好的数学普及工作,谢谢.

elimqiu

谢谢 drc2000 兄的支持。 drc2000 兄见证实在是好。 恒久忍耐，又有恩慈。
我们接着来看我们的‘废话’能带我们走多远…
咱中国人是最务实的。讲究吃，吃下去才算是自己的。讲究实力，说了算才是汉子。所以我们一直在琢磨数的问题。数学是人，数就好象是饭，数学是铁，数就是钢。现在大家小康了，手头有了一些数，于是就问，集合的元素的个数问题怎么处理？ 我们将会看到，这可是个路线问题，闹不好就要出修正主义的（其实我们是摸着石头过河，时刻准备着，不断修正着...呵呵）。
定义： 如果存在某个正整数 n 使得 A 与 {1,2,…,n} 一一对应，则称A的元素的个数是n.
我们用 {1,2,…,n} 表示不小于1且不大于n 的全部正整数。这原来不是一个自明的记号。但是我们有了这个说明，它就有了确定的意义。不再引起混淆。
思考题： 如果对某个固定的正整数n， 集合 A 与 B 都与 {1,2,…,n} 一一对应，那么A与B就一一对应。

其实我们这里定义的是有限集合的计数方法。就是数数，扳手指，不够就扳脚指，知道十/廿以上的数数的就数点，不知道这些的就结绳计数。不过本质都一样，就是搞一一对应。

elimqiu

算你年轻气盛，打断我说谁不懂数数？碰到无穷我怎么数？ 你要是一旦问倒了老外，他就会回你一句： Good Question! (好问题！) 。我不是老外，你也没有问倒我，不过还是会说：无穷集合的个数怎么数的确是一个好问题。
在回答这个问题之前，我们还是谨慎一点。问问自己什么是有限有穷，什么是无限无穷。
孙悟空一个筋斗十万八千里。楞翻也翻不出如来佛的手心。这很形象地刻划了有限：
定义：一个量x是有限的，如果存在某自然数M 使得 |x| < M
定义：如果集合A 的元素的个数是某个自然数，那么就称A是有限集。
      （我们把 0 算作自然数，于是知道空集也是有限集）
悟空翻不出如来佛的手心不是因为悟空翻来翻去翻不出某个半径的范围，而是如来的手掌会变大。然而如来的手掌即使在变，它的每个具体的取值r也还是有限： r < [r]+1 么。
这么说可是有点玄不是吗？ 说是有限，却有没有个限度，那还有限？
我们拿数轴来看问题。我们说每个实数都有限，是指数轴上任意一点，我们从原点用一把长度为1的尺，通过某个自然数n 那么多次的量度，就能越过这个点。换句话说，我们一尺一尺的量度不会没完没了。于是我们说那一点所对应的实数是有限的。可见每个实数都是有限的。这并不妨碍数轴无穷长（即数轴不是有限长）不是吗？
记全体实数的集合为R, 我们现在知道，R的每个元素皆有限，而R本身不是一个有限集。
估计内容已经够多，可能引起事端。先停在这里