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勾股数新公式

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发表于 2016-7-29 15:31 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-6-21 13:55 编辑

QQ截图20170708052436.png




QQ截图20170708055322.png




QQ截图20171027054649.png



QQ截图20171106133109.png


兔子数列中的勾股数

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,

987,1597,2584,4181, ......

设兔子数列中的任意四个连续的兔子数:
第一个为a,第二个为b,第三个为c,第四个为d.

则(ad)^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2



杨辉三角基本定理

第n行的n+1个数之和 = 2^n.

除首尾两个的1不计,第 p(p是质数)行的每个数都能被 p 整除.

二项式 (a+b)^n 系数的平方和等于 C(2n,n) = (2n)!/(n!)^2.

由上,易证:

若 p 是素数,
则 C(2p, p) - 2 能被 p^2 整除。

可以证明:

若 素数 p>=5,
则 C(2p, p) - 2 能被 p^3 整除。


蔡家雄最后猜想

设 n>=5, 且 n^3 >素数 p,
若 C(pn, n)   mod   n^3 = p, 则 n 一定是素数。

若 C(2n, n)   mod   n^3 = 2, 则 n 一定是素数。
若 C(3n, n)   mod   n^3 = 3, 则 n 一定是素数。
若 C(5n, n)   mod   n^3 = 5, 则 n 一定是素数。
若 C(7n, n)   mod   n^3 = 7, 则 n 一定是素数。
....................................................................   


蔡家雄最后猜想(续)

设 n >= 5,
若 C(n^2, n)    mod    n^5 = n,
则 n 一定是素数。


编程验证
s = 2;
For[n = 5, n <= 10000, n++,
If[Mod[Binomial[n^2, n], n^5] == n, s = s + 1;
  Print[s, "---", n, "----", PrimeQ[n]]]]




(1)n 为奇数时,Cosh(n×ln(0.5+√1.25)) / √1.25 = 整数,
(2)n 为偶数时,Sinh (n×ln(0.5+√1.25)) / √1.25 = 整数,
(1)式与(2)式 交替计算,得 兔子数列:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,......

(1)n 为奇数时,2*Sinh (n×ln((1+√5) / 2)) = 整数,
(2)n 为偶数时,2*Cosh(n×ln((1+√5) / 2)) = 整数,
(1)式与(2)式 交替计算,得 卢卡斯数列:
1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,......

(1)n 为奇数时,Cosh(n×ln(1+√2))/√2 = 整数,
(2)n 为偶数时,Sinh (n×ln(1+√2))/√2 = 整数,
(1)式与(2)式 交替计算,得 佩尔数列:
1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378,......

(1)n 为奇数时,Sinh (n×ln((1+√2))) = 整数,
(2)n 为偶数时,Cosh(n×ln((1+√2))) = 整数,
(1)式与(2)式 交替计算,得 再生数列:
1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,......





QQ截图20180611062153.png



新威尔逊定理:

若 (n - 2)!   mod   n = 1, 则 n 一定是素数。




三条件的素性测试是真的吗:

Ln = ((1+√5)/2)^n+((1 - √5)/2)^n
    = 1,3,4,7,11,18,29,47,......

Pn = [(1+√2)^n+(1 - √2)^n]/2
    = 1,3,7,17,41,99,239,577,......

若 2^(n-1)  mod  n = 1,
且 Ln   mod   n = 1,
且 Pn   mod   n = 1,
则 n 一定是素数。


编程验证
s = 1;
For[n = 1, n <= 1000000, n++,
If[(Mod[2^(n - 1), n] == 1)
&& (Mod[Round[((1+√5)/2)^n + ((1 - √5)/2)^n], n] == 1)
&& (Mod[Round[((1+√2)^n + (1 - √2)^n)/2],n] == 1), s = s + 1;
  Print[s, "-----", n, "-----", PrimeQ[n]]]]

若三条件的素性测试是真的,
则它是不需要椭圆曲线素性测试的,
则它是一个实用的多项式时间算法。
 楼主| 发表于 2018-4-7 19:33 | 显示全部楼层
zy1818sd 发表于 2018-4-7 17:24
希望听到菜老师的声音。

庄严老师:
        您好!
你是一位无妒无忌,百年难遇的良师!

我对李明波的素性判定:无妒无忌,
——才莫名其妙的发现了——新威尔逊定理。

      祝:庄严老师
身体健康、长命百岁!
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发表于 2018-3-27 14:23 | 显示全部楼层
实在的讲,菜老师的研究很有特色。,确有独到思维。
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发表于 2018-3-19 14:50 | 显示全部楼层
看到菜老师还活跃在这里,很高兴,加油!
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 楼主| 发表于 2017-11-18 10:34 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-6-10 09:00 编辑

蔡家雄最后猜想(续)

设 n >= 5,
若 C(n^2, n)    mod    n^5 = n,
则 n 一定是素数。

编程验证
s = 2;
For[n = 5, n <= 10000, n++,
If[Mod[Binomial[n^2, n], n^5] == n, s = s + 1;
  Print[s, "---", n, "----", PrimeQ[n]]]]
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发表于 2016-12-18 18:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 朱明君 于 2016-12-18 10:54 编辑

费马猜想(费马数)几百年仅知道5个费马素数:
3,5,17,257,65537.
费马猜想(费马数)几百年仅知道5个费马素数:
3,5,17,97, [7, 247] , ……。
 楼主| 发表于 2016-12-18 18:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2017-12-10 17:30 编辑

QQ截图20171209165520.png
 楼主| 发表于 2016-12-22 08:13 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2017-8-16 07:33 编辑

QQ截图20170808202108.png
 楼主| 发表于 2017-8-6 20:39 | 显示全部楼层
QQ截图20170708055322.png
 楼主| 发表于 2017-8-17 13:10 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-6-17 16:51 编辑

海伦三角形是指三边长及面积都是整数的三角形.
公元1世纪的希腊数学家海伦在他的《度量论》一书中,
给出过三边长分别为13,14,15其面积为84的三角形而得名.

三边长为连续整数及面积同为整数的海伦三角形?及其:通式?

[(3k) * (k - 1) * k * (k+1) ] ^ (1/2) = 整数。求:k 的通式?

6*1*2*3=6^2
21*6*7*8=84^2
78*25*26*27=1170^2
291*96*97*98=16296^2
1086*361*362*363=226974^2
4053*1350*1351*1352=3161340^2
.................................................................................
递推公式
k(0)=1,k(1)=2,k(n)=4×k(n-1) - k(n-2)

通项公式
k(n) = cosh(n×ln(2+√3)) = [(2+√3)^n+(2 - √3)^n] / 2
发表于 2017-8-23 19:58 | 显示全部楼层
这么厉害的
发表于 2017-8-23 20:05 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2017-8-23 20:04
这个定理的编程验证:      
                                                   
s=0;             ...

好的  这个定理有什么实际推广吗
发表于 2017-10-14 00:38 | 显示全部楼层
羊梓敏 发表于 2017-8-23 20:05
好的  这个定理有什么实际推广吗

通过计算,可以判断一个数是不是素数。如果改进,你也可以找到一个最大素数,打破外国人的记录
 楼主| 发表于 2017-11-3 19:08 | 显示全部楼层
QQ截图20170708055322.png
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