勾股数新公式

蔡家雄

求证：(a^3+b^3)*(c^3+d^3)=e^3+f^3+g^3+h^3 均有正整数解。

推广：(a^n+b^n)*(c^n+d^n)=e^n+f^n+g^n+h^n 均有正整数解。

蔡家雄

【有解就亮出来】

求 d^4=2*a^4+b^4+c^4 的正整数解。


【有解就亮出来】

求 m^3=a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3 的正整数解。

即 m^3 表为两组均为四个非零立方数之和。


【有解就亮出来】

求 m^4=a^4+b^4+c^4+d^4=e^4+f^4+g^4+h^4 的正整数解。

即 m^4 表为两组均为四个非零四次幂之和。

蔡家雄

【完美立方数】

若 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

且 D^3=A^3+B^3+C^3，

求 D= ？A= ?  B= ?  C= ?

注 D^3=496^3=57^3+82^3+495^3 就是完美立方数。

且 57^3=a1^3+a2^3+a3^3，82^3=b1^3+b2^3+b3^3，495^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解。

蔡家雄

优质双胞胎立方数

41^3=2^3+17^3+40^3 是无公约数的本原解，
41^3=6^3+32^3+33^3 也是无公约数的本原解。

优质三胞胎立方数

m^3=a1^3+a2^3+ a3^3 是无公约数的本原解，
m^3=b1^3+b2^3+b3^3 也是无公约数的本原解，
m^3=c1^3+c2^3+ c3^3 也是无公约数的本原解。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-1-24 11:10
优质双胞胎立方数

41^3=2^3+17^3+40^3 是无公约数的本原解，

87 [[20, 54, 79], [26, 55, 78], [38, 48, 79]]
219 [[50, 67, 216], [51, 152, 190], [67, 167, 177], [108, 163, 170]]
231 [[56, 102, 223], [98, 136, 207], [103, 140, 204]]
235 [[54, 163, 204], [78, 172, 195], [96, 163, 198]]
256 [[9, 58, 255], [9, 183, 220], [22, 57, 255]]
292 [[58, 201, 255], [106, 227, 229], [183, 201, 220]]

Treenewbee

不限制公约数会有更多的选择，如：
174 [[40, 108, 158], [45, 126, 147], [47, 97, 162], [52, 110, 156], [66, 90, 162], [76, 96, 158], [87, 116, 145]]
216 [[24, 144, 192], [26, 102, 208], [30, 164, 178], [48, 76, 212], [102, 117, 195], [108, 144, 180]]
246 [[12, 102, 240], [36, 192, 198], [57, 180, 207], [88, 102, 236], [113, 166, 207], [123, 164, 205]]
270 [[23, 102, 265], [30, 180, 240], [60, 95, 265], [75, 114, 261], [135, 180, 225], [174, 177, 207]]
288 [[2, 142, 276], [32, 192, 256], [57, 159, 270], [71, 177, 262], [136, 156, 260], [144, 192, 240]]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-1-22 14:12
求证：有无穷多个m，

使得：m^3 既可以表为三个立方数之和，也可以表为四个非零立方数之和。

38 [6, 20, 36],[3, 5, 28, 32],[3, 4, 5, 20, 36]

   54 [6, 36, 48],[7, 17, 38, 46],[3, 4, 5, 36, 48],[7, 17, 27, 30, 37, 38],[3, 4, 5, 18, 24, 30, 48],[6, 7, 17, 20, 27, 30, 36, 37],[3, 4, 5, 12, 16, 18, 20, 30, 48]

Treenewbee

m^3 表为五组均为四个不同非零立方数之和。

52 [[4, 20, 28, 48], [6, 30, 34, 42], [10, 22, 38, 42], [19, 21, 34, 44], [20, 28, 36, 40]]
69 [[6, 28, 53, 54], [11, 41, 49, 52], [18, 42, 45, 54], [20, 35, 37, 61], [26, 28, 37, 62]]
72 [[3, 18, 29, 70], [15, 42, 48, 57], [16, 28, 32, 68], [26, 35, 37, 64], [30, 43, 45, 56]]
77 [[2, 13, 60, 62], [9, 47, 50, 61], [13, 23, 41, 72], [14, 21, 34, 74], [32, 33, 39, 69]]
80 [[2, 35, 52, 69], [13, 14, 44, 75], [14, 17, 31, 78], [20, 25, 62, 63], [44, 48, 52, 56]]
97 [[1, 20, 42, 94], [3, 16, 63, 87], [7, 43, 47, 90], [9, 26, 70, 82], [33, 56, 64, 76]]
100 [[6, 46, 53, 91], [28, 60, 66, 78], [37, 44, 48, 91], [55, 60, 65, 70], [56, 58, 67, 69]]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-1-23 10:23
求证：(a^3+b^3)*(c^3+d^3)=e^3+f^3+g^3+h^3 均有正整数解。

推广：(a^n+b^n)*(c^n+d^n)=e^n+f^n+g^n+h^ ...

(a^n+b^n)*(c^n+d^n)=(ac)^n+(ad)^n+(bc)^n+(bd)^n

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-1-24 09:56
【有解就亮出来】

求 d^4=2*a^4+b^4+c^4 的正整数解。

\[195479^4=112822^4+189695^4+ 41080^4+ 25570^4=140947^4+180520^4+ 43340^4+ 12970^4\]