勾股数新公式

蔡家雄 · 发表于 2023-2-4 19:36

求解方程：

m^3=a^3+b^3+c^3+d^3

m^5=e^5+f^5+g^5+ h^5

85359^3= a^3+b^3+c^3+d^3

85359^5= 85282^5+28969^5+3183^5+55^5

求解方程：

m^4=a^4+b^4+c^4+d^4

m^5=e^5+f^5+g^5+ h^5

85359^4= a^4+b^4+c^4+d^4

85359^5= 85282^5+28969^5+3183^5+55^5

蔡家雄 · 发表于 2023-2-5 12:44

本帖最后由蔡家雄于 2023-2-5 14:13 编辑

卢卡斯序列
Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]
L1=2,
L2=7,（质数）
L3=97,（质数）
L4=18817,（合数）
L5=708158977,（质数）
L6=1002978273411373057,（合数）

设想：10是卢卡斯序列中30k+7型质数(7, 97, 708158977 )的原根。

后一项是前一项的平方，再减2，
7，47，2207，4870847，......
设想：10是此序列中质数(7, 47, 2207 )的原根。

后一项是前一项的平方的2倍，再减1，

13，337，227137，103182433537，21293229181234844660737，

906803217929182266254138837494941353258766337，

设想：10是此序列中30k+7型质数(337，21293229181234844660737，

906803217929182266254138837494941353258766337 )的原根。

Treenewbee · 发表于 2023-2-5 14:04

4870847的原根1216320

10是卢卡斯序列中30k+7型质数(7, 97, 708158977 )的原根。
10是此序列中质数(7, 47, 2207 )的原根。
10是此序列中30k+7型质数(337，21293229181234844660737，

906803217929182266254138837494941353258766337 )的原根

蔡家雄 · 发表于 2023-2-5 15:01

后一项是前一项的平方，再减2，

257, 66047, 4362206207, 19028842992389326847,

设想：10是此序列中质数(257, 66047, 4362206207 )的原根。

后一项是前一项的平方，再减2，

233, 54287, 2947078367, 8685270901239386687, 75433930627915628254433095959912835967,

设想：10是此序列中质数(233, 54287, 75433930627915628254433095959912835967 )的原根。

蔡家雄 · 发表于 2023-2-5 21:07

因为：a^4+b^4=c^2 无解，

所以：a^6+b^6=c^3 无解，

蔡家雄 · 发表于 2023-2-5 21:08

求 a^3+b^3=c^3+d^3=e^3+f^3，

例 560^3+70^3=552^3+198^3=525^3+315^3

求 a^4+b^4=c^4+d^4=e^4+f^4，可以有吗？？？

Treenewbee · 发表于 2023-2-5 22:32

四次幂二元组目前尚未见报道。10^19之内搜索无解。

百万内的四次幂二元组：
158 59 134 133
239 7 227 157
292 193 257 256
502 271 497 298
542 103 514 359
631 222 558 503
1203 76 1176 653
1381 878 1342 997
2189 1324 1997 1784
2461 1042 2141 2026
2797 248 2524 2131
2949 1034 2854 1797
3190 1577 2986 2345
3494 1623 3351 2338
3537 661 3147 2767
4849 3364 4303 4288
4883 2694 4397 3966
5053 604 5048 1283
6140 2027 5461 4840
6619 274 5942 5093
6730 2707 6701 3070
6761 498 6057 5222
7557 1259 7269 4661
7604 5181 7037 6336
8912 1657 7559 7432
8961 6262 8511 7234
9018 4903 8409 6842
9043 5098 8531 6742
9109 635 9065 3391
9253 1104 8972 5403
9289 1142 9097 4946
9316 173 9197 4408
9733 5452 9029 7528
10142 3401 9527 7054
10409 5277 9517 8103
10652 3779 9533 8332
11515 3644 11333 5960
12231 2903 10381 10203
12234 1525 12213 3550
12653 1149 12167 7809
13472 5121 12772 9153
13751 5526 12169 11022
14421 6470 14190 8171
14643 6496 13268 11379
14861 261 14461 8427
15109 581 14723 8461
15265 6101 13085 12743
15642 5675 15594 6485
15869 4441 14767 11291
16293 7168 15188 11877
16377 691 15663 10411
16628 8947 15091 13268
16886 9649 15566 13297
17332 529 17236 6673
17660 2207 17600 6049
18093 5981 16349 13869
18825 4912 18520 9609
20117 4058 17554 16213
21587 1098 21586 2541
22131 4091 21027 14539
23702 14327 21526 19447
24187 10191 20781 20201
24207 6502 24079 9738
26867 17549 24041 23041
27294 5653 25451 19218
27407 758 27374 7217
27785 15393 25355 22107
28061 2558 28058 4189
30411 12787 26511 24959
31472 9351 28308 24263
31544 10255 29617 21940
31731 5468 27661 25596
32187 6484 29812 23109
32241 4535 32237 5565
34651 27238 33614 29083
36977 7713 34107 26851
37868 167 37721 13348
38281 25489 36001 30713
39448 17701 38939 21676
39668 17887 39521 19304
39789 3080 35885 30348
40540 2513 40465 11888
41169 2438 39282 26479
41447 5322 40039 24858
41699 227 38887 29297
42516 3959 41968 20169
43676 11447 41591 28544
44203 1499 43007 25097
45453 15052 41324 34419
46136 10757 45883 18292
46481 12777 45471 25447
49792 26887 43847 41524
51826 1359 44337 42782
53935 31494 52881 35710
55247 45942 53742 48271
55589 15428 52837 36688
56603 41316 51176 50139
56999 3632 56089 28484
57702 33611 55947 40018
60369 28997 59777 33237
60987 31510 59634 38395
61583 5966 61478 17743
62047 40351 59693 46747
62206 29531 60763 38078
62317 17036 61892 26477
64369 23841 60033 46063
65196 27103 61528 45471
66308 45869 60328 56941
66407 43646 58841 57706
68174 6805 58918 55595
68303 33050 65521 46130
69123 40876 64829 53112
70685 822 64803 52030
71167 7612 62512 56767
72121 3698 70594 38599
73059 1661 71807 37143
73833 11884 72599 37404
74253 5728 68301 54212
74411 6464 68587 54044
74887 35582 64342 63161
75451 19134 71346 50747
75457 8207 68477 56837
76333 17697 74523 42313
76562 44315 69605 61966
78021 22813 71089 58593
80399 8427 79419 37631
80804 68989 76216 74941
81539 14493 80623 37593
81885 37996 78621 54520
82252 14983 75847 59728
83771 23359 74167 66269
84543 48524 80484 61889
86774 82651 85498 84059
87797 39393 85173 55073
89345 15322 84545 59678
90017 37686 81622 69471
90041 37304 87548 54649
90133 802 90122 13397
90829 27879 89841 43307
92333 20023 90937 45949
93032 2359 89236 58231
94543 37879 92213 55733
97681 17006 97489 29882
98203 17354 97982 31013
101819 1788 98427 60752
103543 47139 98049 72389
103809 57832 94529 83004
104909 13614 102451 57582
105324 4307 100292 68397
106931 5444 97907 78952
107478 27275 99978 76405
108499 17657 98879 81019
109543 47928 99904 83943
110531 10734 108867 54466
110813 4390 104534 74845
112021 26436 110448 54997
112561 64642 110834 72143
114732 15209 106696 81321
114839 74814 102441 98758
117473 29286 111838 76767
118327 74812 114176 87049
119183 49003 112199 83693
119225 27653 117205 61097
120468 35249 118668 61007
125714 46591 124402 62209
126253 12840 122579 72960
126659 39717 109213 104133
127034 73547 110758 108619
127916 44309 112363 102916
129377 20297 127037 66787
133557 91318 127578 105269
133636 99331 122332 117763
134111 59327 123497 100807
134413 34813 114613 111637
139356 55483 122664 112507
139361 66981 138631 72723
140047 3800 139505 49328
140432 82763 138379 91196
143150 18257 142993 37370
143647 66253 142871 72997
143844 113003 135829 125844
144401 8052 135504 99409
144733 72274 144541 73766
147941 91508 145627 99848
150549 4906 142251 101042
152662 9023 135502 119809
153689 23073 151421 75501
153863 78804 133383 129644
153871 14652 129777 129004
154522 73703 151394 92839
155068 23287 152393 79112
158642 77811 157582 85491
158791 6696 158736 30649
160133 28580 159544 56635
164705 126168 161951 131760
164923 8027 162613 79819
166314 54155 156939 113690
166958 5397 166806 41003
169040 31233 156580 121281
174484 7805 161405 125516
175033 29259 156241 136131
178559 18657 178509 33499
179261 35114 155762 145283
179471 42708 176524 91407
181819 58931 162527 142049
184823 72582 174574 127689
189412 117695 177440 148609
191218 50327 171266 148247
194087 50774 171481 153898
197689 77636 179143 151996
197981 5067 197949 31573
198665 48478 168254 166135
199701 39914 197378 93141
200388 46133 192459 125108
200635 6758 200581 36350
207971 190444 207139 191512
209954 55935 188610 161921
213672 116309 203349 153664
214791 43648 213689 82788
215989 59519 214793 88141
218741 36693 218289 67433
219372 23641 219256 47769
220240 68149 216868 112885
220837 33379 216119 118633
220848 25079 214519 127176
222058 6819 215011 130974
223341 99083 194937 183769
226063 88198 219121 138394
228901 22125 228825 44393
229862 37819 209302 171973
232357 79324 228784 121061
232585 92202 218423 163950
234676 6061 212576 177427
235201 81416 233212 109951
237241 75230 215545 179638
241647 41858 231462 152623
243661 22354 211123 198046
245447 95344 241564 132359
250192 52965 247067 118920
252474 193901 240557 214782
252974 64851 248034 134611
253163 53797 249751 122527
255295 112304 253172 131455
255718 164745 243690 196343
258616 112213 255532 138517
261143 32458 260311 88046
264501 72013 230457 214087
266063 72489 230099 217443
266192 36553 266116 52361
270892 14533 270853 42112
273503 143749 263323 186689
274953 129289 237317 230499
276598 49729 253814 203329
278011 128472 250683 218924
278524 204585 255520 243351
278865 197356 248792 247185
282751 95248 277724 151361
284896 227387 271132 249211
286079 215719 271673 241759
287394 20773 287178 67429
289584 10651 271067 201036
291151 140401 267769 222103
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300350 181013 278741 237370
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328563 128053 322821 180541
329652 23383 316137 206576
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334883 30519 327183 182869
335084 1169 296668 264047
342081 136321 328619 220803
346533 63793 339587 183687
348197 217863 315957 289111
349582 155997 332259 240394
351653 133882 318437 270206
354041 146514 350254 183033
356307 177070 338310 251501
356533 117177 332463 253501
357787 130841 356663 149387
358416 235559 335248 288729
361355 43399 359575 135493
362975 143066 358090 191137
366407 152101 363179 184631
369885 156674 364050 204707
374989 33058 338918 284813
378507 94108 333384 301387
379915 238231 338231 323605
382090 96207 379674 157775
391385 69827 362111 281675
391681 168897 373213 265227
392079 110912 377969 241008
397403 224405 391475 251347
397498 35593 349162 317047
403931 100713 394911 221389
408229 293016 398693 315252
411208 159105 361208 332415
411270 176279 356585 340278
415137 17228 401168 248289
417453 202886 386259 314666
419909 31238 419762 81659
420715 15909 390315 300187
421653 19687 410253 239359
422012 34331 414008 219941
422806 212617 366409 355522
428763 357785 414987 378505
428947 57612 386989 327024
434236 33219 433912 101757
437187 185348 406397 319608
438136 139627 417688 287083
441637 122709 405511 325521
441718 279311 389242 381583
445007 126000 408945 327476
451239 72554 444263 224334
454681 292304 439847 335108
457124 17677 455536 156749
459893 54382 430987 318098
464563 93200 424780 344563
469461 120074 447339 305726
470666 113279 462034 246079
470783 133443 466387 214737
471677 144006 418014 373181
471841 66047 454187 289571
476025 348208 450695 396792
477058 162583 474839 201718
480032 108201 444311 345588
481607 340995 471849 365005
483172 70157 482944 106163
483525 166408 483131 175320
486833 77914 450737 349574
487906 176687 418394 405359
500087 447344 491447 458668
500468 123141 499968 148037
500508 338921 485288 378327
501893 131176 490336 277637
504221 61397 499133 225461
505171 118383 503469 180847
509644 2089 499784 266857
512389 127163 478157 360643
515353 59870 513625 175754
515794 31409 486287 349142
519249 142934 487022 360303
522029 177084 508048 304749
523491 120947 459689 418449
525152 196565 452420 434539
526800 46787 511160 305859
529234 1457 494186 370319
533957 149317 498473 376271
535490 180881 465994 436015
535609 12541 535349 112417
535658 111459 504474 364829
536880 262811 524955 330352
539689 147971 466709 441137
539943 119014 470878 435687
540428 61 540164 113603
542536 107487 496609 401364
547187 191688 511968 386419
547855 306002 515377 410170
548278 417515 500971 490250
548576 221129 481673 444748
554092 57669 547461 258176
558305 227697 531145 377271
560623 170790 498010 441873
565007 324341 522917 442111
565325 346622 564730 349171
567244 412801 558911 432496
568801 17201 493141 461939
569609 21103 569459 102653
570677 256212 569856 264821
571037 50131 570971 86299
572992 116143 569873 223828
574857 167836 565303 297888
576959 77059 571091 258641
577086 54647 567863 288534
593019 254171 549983 436647
597262 32517 516731 486366
604324 78937 593536 310631
610009 211511 557411 457813
614706 8539 602917 321186
615677 25557 585561 402007
620987 381101 586007 477241
623606 263859 570982 472371
625103 407356 579023 510316
626122 42099 625542 154637
627862 261985 622241 317810
629747 117009 613061 356793
631156 233969 580111 469124
631909 37945 630563 191905
633457 358894 554063 537338
634003 34468 628051 278128
635423 214349 623861 341849
637189 225188 619781 375404
638224 266819 636541 287284
638483 41918 638366 105709
638895 85993 604555 426507
639311 196179 599511 445397
640421 282836 544027 543128
640612 305713 616049 426592
641471 3119 567683 505829
649061 570172 644528 576677
651341 174243 611773 449517
651991 263106 573782 526953
657848 81249 589471 507984
658547 181171 636773 396619
663230 43893 662901 140290
665579 168301 631987 440117
670207 403283 651821 467327
674693 424494 629819 535674
680783 123396 680584 148239
681654 284803 623869 516186
683105 39414 635586 483295
685843 507032 640429 587492
699871 2449 662971 464957
702362 452339 674962 527923
705361 352064 688367 442588
709701 24212 641432 539013
711809 558182 694079 590654
713838 3257 712378 214521
714141 331795 695235 443213
715653 142373 651921 535273
720886 471197 704797 519098
721339 389044 674693 542216
727017 651215 720115 660483
728123 94657 728111 99701
733711 371742 640399 612462
739885 232484 691859 520640
747633 465236 682161 614656
751708 287051 644107 626408
753247 325282 720929 500974
753653 175432 670856 589813
755291 282457 643873 632381
756424 100019 689308 564749
756476 96631 725641 473588
759903 54610 737570 440097
760384 251873 676769 598772
761752 329775 738864 474065
762257 73598 761233 207106
763169 421689 726783 550489
764279 219182 745426 431753
766018 38017 751414 399679
766133 159482 764917 230626
766958 170313 724919 515634
769477 167846 763678 325627
769714 600031 757742 623327
773563 188999 734209 512093
777849 201814 678494 628281
778382 328807 774887 367486
781491 507067 754041 583369
781968 294961 678172 642063
784539 125074 710058 594469
785236 241207 775772 382409
785947 305123 766783 459407
791485 72888 685955 643116
795304 519283 737116 649139
809881 77117 705259 653921
814149 248383 791009 476763
815956 162857 800809 425284
826669 16409 804679 467443
827353 458385 785565 602621
827969 532244 768896 669313
832992 761281 822657 774236
840145 64041 830163 390595
841820 315139 740680 677827
850912 354271 842204 438241
857849 311328 847956 429241
858201 219380 840360 463207
862358 126421 795563 625114
864709 244553 730471 726091
865144 253133 814244 594317
867849 329626 838711 538734
869338 161105 840766 518255
870322 438875 852610 535771
875477 69892 874219 241352
876859 706223 810859 799039
879932 186777 878416 270297
884472 103081 771476 712599
884947 3106 875539 400262
886097 294409 752197 742459
886339 181292 862304 505603
888376 368463 758192 746673
897167 37149 882489 450997
897337 93537 885867 424907
901242 152219 851614 605349
901337 406956 888601 502872
905509 505481 874987 623833
906222 387653 897898 465669
909613 168824 877004 553453
912495 291652 812945 716652
914161 445802 801314 755377
923339 85264 922933 190984
923483 84231 875851 610473
925087 230394 787873 769086
931150 168627 902285 547386
931676 88773 864261 665024
932726 576637 905602 664381
937717 248784 897291 599056
944440 540227 874936 736835
945211 321580 939652 413755
946357 190839 864547 703359
947031 479975 858165 749219
953837 212167 916871 592301
955378 168531 883693 688026
960319 87924 942337 498984
962724 455837 870557 756684
972841 283961 967979 394717
988582 158157 976563 463702
989216 283949 958163 590024
989426 503473 938698 704399
989727 161299 913141 717447
990518 1039 967823 540326

蔡家雄 · 发表于 2023-2-6 16:49

定义：形式 m*(m+1)/2 的数，叫：三角数。

定义：形式 k*(k+1) 的数，叫长方形数。

求 w 既是三角数，又是长方形数的通解公式。

如：6=3*4/2，有 3^2+4^2=5^2
如：210=20*21/2，有 20^2+21^2=29^2

所谓：菲波那契数列(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...... )中的平方数，
所谓：佩尔数列中的平方数，在伟大的三L 之一的拉格朗日时代，早已解决，

设 w 为三角数，且 1w+1 =完全平方数，求 w 的通解公式。（用根式解，已解决。）

设 w 为三角数，且 3w+1 =完全平方数，求 w 的通解公式。（用根式解，已解决。）

设 w 为三角数，且 7w+1 =完全平方数，求 w 的通解公式。（用根式解，待解决。）

设 w 为三角数，且 15w+1 =完全平方数，求 w 的通解公式。（用根式解，待解决。）

设 w 为三角数，且 31w+1 =完全平方数，求 w 的通解公式。（用根式解，待解决。）

设 w 为三角数，且 63w+1 =完全平方数，求 w 的通解公式。（用根式解，待解决。）

设想：合众为一，以上存在统一的通解公式！！！！！！

Treenewbee · 发表于 2023-2-6 17:58

设 w 为三角数，且 7w+1 =完全平方数，求 w 的通解公式。
{120, 107880, 96876240，96876240, 86994755760, 78121193796360}

设 w 为三角数，且 15w+1 =完全平方数，求 w 的通解公式。
{1, 45, 528, 21736, 254541, 10476753, 122688280}

设 w 为三角数，且 31w+1 =完全平方数，求 w 的通解公式。
{120, 1128, 1906128, 17907120}

设 w 为三角数，且 63w+1 =完全平方数
{1, 561, 10440, 46360, 862641, 452448321}

Treenewbee · 发表于 2023-2-6 18:08

设 w 为三角数，且 7w+1 =完全平方数，求 w 的通解公式。

\[a(n)= \frac{ 15 \cosh(n \ln (449+120 \sqrt{14})-4 \sqrt{14} \sinh(n \ln(449+120 \sqrt{14}))-15}{112}\]

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