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楼主: 蔡家雄

勾股数新公式

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 楼主| 发表于 2020-8-5 08:45 | 显示全部楼层
k个连续平方和等于一个平方数,有 无限组解,

k个连续立方和等于一个立方数,有 无限组解,

证明或反驳:n>=4,

k个连续n次幂和等于一个n次幂,不可能有解,
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 楼主| 发表于 2020-8-5 08:55 | 显示全部楼层
\(1^2+2^2+3^2+......+24^2=70^2\)

\(18^2+19^2+20^2+......+28^2=77^2\)

\(25^2+26^2+27^2+......+50^2=195^2\)

\(38^2+39^2+40^2+......+48^2=143^2\)

\(456^2+457^2+458^2+......+466^2=1529^2\)

\(854^2+855^2+856^2+......+864^2=2849^2\)

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 楼主| 发表于 2020-9-6 17:13 | 显示全部楼层
若 a^2+b^2= c^2,

且 a+b=r^3 及 c=s^3 ,

的 本原或非本原勾股数,数学家找到了吗?
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 楼主| 发表于 2020-9-30 20:14 | 显示全部楼层
若 a^2+b^2= c^2,

且 a+b=r^4 及 c=s^4 ,

的 本原或非本原勾股数,数学家找到了吗?
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 楼主| 发表于 2020-10-27 20:07 | 显示全部楼层
题:A(1)=1,A(2)=2,A(n)=2A(n-1)+A(n-2),求证 n≥5 时,A(n) 的质因数中有一模 4 余 1 .

解:分奇数项与偶数项讨论之,

A(n)=1,2,5,12,29,70,169,408,......

B(n)=1,3,7,17,41,99,239,577,......

C(n)=1,6,35,204,1189,6930,40391,......

由费马小定理:a, b>0,

2x+1= a^2+b^2 必有一个4d+1型的素数,得

奇数项的A(2k+1)=[A(k)]^2+[A(k+1)]^2 必有一个4d+1型素数,

偶数项的n分4k+2 和 4k 两种情况,

偶数项的n=4k+2,     A(4k+2) 能被 A(2k+1)=[A(k)]^2+[A(k+1)]^2 整除,必有一个4d+1型素数,

而 4k 又分 k为奇数(用2k+1作变换)和 k为偶数(用2k作变换)两种情况,

偶数项的n=4(2k+1), A(8k+4) 能被 A(2k+1)=[A(k)]^2+[A(k+1)]^2 整除,必有一个4d+1型素数,

偶数项的n=4(2k),      A(8k)     能被 B(4k)     =[4*C(k)]^2+1^2        整除,必有一个4d+1型素数,

故:A(1)=1,A(2)=2,A(n)=2A(n-1)+A(n-2),当 n≥5 时,A(n) 的质因数中有一模 4 余 1 .

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 楼主| 发表于 2020-10-30 12:59 | 显示全部楼层
已知 (1+√2)^2020=A+B√2 ,

其中 A, B 是正整数,求 A+B 的个位数字

A(n)=1,3,7,17,41,99,239,577,...... ,

B(n)=1,2,5,12,29,70,169,408,...... ,  

A(2020)+B(2020)=B(2021)

B(n)=1,2,5,12,29,70,169,408,...... ,  

的个位数字1,2,5,2,9,0,9,8,5,8,1,0,是周期循环的,

2021  mod  12 = 5 ,B(2021)的个位数字是9,

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 楼主| 发表于 2020-11-17 06:43 | 显示全部楼层
方程:\((b+1)^3+(b+2)^3+.....+(b+a)^3=p^3\)(b,a,p为自然数)有无穷解。

证:当a为立方数时,即\(a= i^3\)时,可求得\(b=( i^4-3i^3-2i^2-2)/6;p=(i^5+i^3-2i)/6\)。

易见,当i=3k时,方程无解;

当i=3k±1时,方程有解,从而原方程有无穷解。

例:当i=5,即a=125时,\(34^3+35^3+……+158^3=540^3\)

当i=10,即a=1000时,\(1134^3+1135^3……+2133^3=16830^3\)

当i=11,即a=1331时,\(1735^3+1736^3……+3065^3=27060^3\)

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发表于 2021-1-20 21:21 | 显示全部楼层
有人酸溜溜的讽刺:让外国人发表,就是不爱国。

那么,刘路是先在外国发表,你说刘路爱不爱国?
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 楼主| 发表于 2021-1-23 21:47 | 显示全部楼层
uk702:你的 mathematica 程序可能有多高效?

素数方阵猜想

设 n>=2,  求 n^2 个连续素数的和 = 完全平方数,均有解。

uk702 可能求出此题 10<=n<=100的解吗 ?
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 楼主| 发表于 2021-1-26 18:34 | 显示全部楼层
顶礼虚云老和尚 ! ! !
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