绝对准方法与近似方法、全能近似方法

jzkyllcjl

1 实数定义问题
众所周知：毕达哥拉斯时代就出现了“√2是不是数的第一次数学危机”。直到19世纪人们才用各种不同的方法建立了承认√2为无理数的实数理论。关于这些实数理论，康托儿说道：“无理数的建立必须以这样或那样的实无穷为基础”。希尔伯特也提出了“使用完成了的实无穷观点下可以使用排中律保护古典数学（包括康托尔集合论）”的意见。那么，实无穷是什么意思呢？王宪钧在他的《数理逻辑引论》中讲到：“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体”，“潜无穷论者否定实无穷，认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的”。究竟如何？两千多年前，芝诺就对“时空无限可分性”与“无穷集合是完成了的整体的实无穷观点”提出诘难；亚里斯多德研究了芝诺悖论，他抛弃了实无穷而接受了潜在的增长着的无穷概念。笔者研究了自然数集合、实数集合，发现它们都是其所有元素写不到底的、不能完成集合，即都不是康托儿希尔伯特认定的完成了的实无穷集合，不能提出康托儿的无穷基数，从而消除了连续统假设的大难题。笔者研究了现行数学理论中的无尽小数，它也不是能写到的定数，无理数的十进小数表达式是不存在的。即使使用现代的计算机也不能算出圆周率π的绝对准十进位小数表达式。为此，笔者2009年出版了《全能近似分析数学理论基础及其应用》,今年又写了“数列极限与实数理论、集合理论改革”、“点的辩证概念与瞬时速度问题”的短文。本文谈谈“理想实数的定义及其绝对准计算、近似计算、全能近似计算的概念与有关问题。
2无理数√2的十进位小数表示问题
    无理数√2的问题，是招致第一次数学危机的问题。在上述定义下，，可以知到：以1为边长的直角三角形的斜边长是一个理想实数；根据勾股定理，这个理想实数应当写作√2。但这个符号有缺点： 从这个符号看不出它与度量单位之间的关系；计算2的方根时，又发现：√2不是十进小数，这个开方运算永远算不到底。因此必须使用近似计算，寻求√2的近似值。例如，针对误差界序列1/10^n(n=0,1,2,3,……) 可以得到√2的不足近似值数列{1，1.4，1.41，1.414，……}与过剩近似值数列{2，1.5，1.42，1.415，……} ，这两个数列的极限都是√2。因此可以提出极限表达式：
        lim{1，1.4，1.41，1.414，……}=√2       （1）
与      lim{2，1.5，1.42，1.415，……}=√2。     （2）
其中前一个数列，可以简写为1.414……，并称它为无尽不循环小数，但须注意，这个无尽小数不是定数，而是收敛无穷数列。在这个意义下，可以写出极限性等式
         √2=lim1.414……       （3）
又由于，前一个数列中，存在对上述误差界序列的一系列不足近似等式√2≈1.4，√2≈1.41，√2≈1.414，……，所以可以提出代表这一系列不足近似等式的、对任意小误差界的全能近似等式
       √2～1.414……         （4）
对后一个数列，可以提出一系列过剩近似等式√2≈1.5，√2≈1.42，√2≈1.415，……，可以提出代表这一系列过剩近似等式的对任意小误差界全能近似等式
      √2～{1.5,1.42,1.415,……}       （5）
    上述讨论说明：在研究方程x^2-2=0 的解、或研究√2等于什么的时候的时候。就必须使用三种计算方法。这三种方法是：近似方法，全能近似方法与绝对准方法。有些问题的绝对准理想计算方法很简单，例如1+2=3就是如此，但在这里，绝对准理想计算法是个通过其全能近似值数列取极限的方法，而且还需知道这个极限值是一个达不到的理想性质的无理数。这里的全能近似值数列是一个具有计算不到底的无穷数列；这个数列中的精确度较高的近似数只能被看作是“在时间不受限制的条件下才可以算得的数”，但实际上很难算出；只有精确度较低的近似值才可以容易算出。具体说来，近似等式
       √2≈1.414                    （6）
是很容易算出的，但这个近似值只有四位有效数字，其误差界是千分之一。如果感觉精确度不够，就需要费点事求出精度较高的近似值，例如：
  √2≈1.41421，35623，73095，04880，16887，2420          （7）
这是一个具有30位有效数字的误差界为1/10^29的近似值。还需要知道：的现行教科书中的在近似值之后加上……，提出绝对准等式  
      √2 = 1.414……               （8）
就有问题了。其问题是：第一，这里的无尽小数是写不到底的事物，这个使用绝对准等号的表达式是一个虚无的假象，事实上，人们无法得到√2的绝对准十进位小数表达式。第二，从这个表达式出发，就有人将（8）式两端开方得等式
    2^1/4 =1.1891173196955799112855106717254……  （9）
这个等式不仅给出可以得到2的四次方根的假象，而且还给出它有32位有效数字的假象，但实际上，它只有四位有效数字。将（8）式两端平方得
       2= 1.999396……       （10）
显然可以看出：这个等式是不成立的。应当把（9）改写为
      2^1/4 ≈1.1891173196955799112855106717254 （11）
并需注明其有效数字只有四位，误差界为1/10^3。同理（10）式应当改为
        2≈1.999396               （12）
并指出其有效数字只有四位。√2的十倍也不能用十进小数绝对准表示，在近似方法下，可以根据（6）式得：
      10√2≈14.14                     (13)
这个近似值，仍然是有四位有效数字的近似值，但误差界只能是百分之一，而不是（6）式的千分之一。
3 除不尽的分数的十进位小数表示问题举例
计算101米的三等分之一时，需要使用除法，但这个除法运算是永远出不到底的工作，我们不能把这个工作无限进行下去，只能在一定误差界之下寻求其近似十进位小数表达式。例如，在误差界1/10^6的条件下，容易写出近似表达式
    101/3≈33.666666            （14）
这个近似值是具有8位有效数字的误差界为1/10^6的近似值。与无理数不同，这个分数的任意精度的近似值，都很容易算出，但绝对准十进小数表达式也是不存在的（因为无穷个6是写不出来的）。
4 三角函数值的计算问题举例
有了科学计算器，容易得到1o的正弦是：0.01745240643728351281941897851632。但须知道：这个数值是在近似计算方法下得到的。这个数值的有效数字是31位；误差界是： 的近似值。因此，只能写出近似等式
   Sin1o≈0.0174，52406，43728，35128，19418，97851，632            (15)
至于这个近似值是如何算出的问题。需要使用泰勒公式或麦克劳琳级数。对于这个级数表达式，必须知道：第一，无穷项相加是无法进行的工作，Sin1o的绝对准十进位小数表达式是算不出来的，人们能做的，只是从足够多项和中计算出足够准的近似值，第二，这个级数表达式中的x是弧度意义下的角度，所以在使用这个级数时，首先需要把1o化为弧度，这是需要用到无理数π的十进位小数表达式；对π也只能使用近似值。第三，根据三角函数的定义，在任意小区间内，正弦值都有有理数与无理数，但在近似研究时，两者可以不加区分，都可以用十进位小数近似表示。第四，如果感觉（15）的近似值不够精确，可以寻求更精确的近似值与较精确的近似表达式。但将上述近似值加上……写出绝对准等式；
Sin1o=0.01745240643728351281941897851632……            (17)
是无根据的；这个等式不能写。关于这个等式,,我提出了“Sin1o是无理数吗？”的问题，有个网友答复说：“1° 不能尺规作图，所以 sin 1° 不是有理数。”我对这个答复，不满意。我又提出“三角函数是连续函数，在0o与1o之间，有许多角的正弦是有理数，你能指出它们的角度吗？ ”的问题。
    使用科学计算器还可以得到；
Cos1o≈0.99984769515639123915701155881391               (18)
    （Cos1o）^2≈ 0.99969，54135，09547，86500，31217，20021，96       (19)
  （Sin1o）^2≈3.0，45864，90452，13499，68782，79978，03502e-4         (20)
将（19）、（20 ）两端相加，得：
（Sin1o）^2+（Cos1o）^2 ≈0.99999，99999，99999，99999，99999，99999，99502
这个结果与理论上的（Sin x）^2+（Cos x）^2=1不合，造成这个现象的原因是（19）、（20）式的近似性，出现这个微小差别是正常现象。
5 能够算出精确值时，不要使用近似方法
有个网友对等腰三角形ΔABC，底边长AB=2，内切圆半径r=0.4的腰长进行计算后，写出：BC= AC= 1.380952380952380931233847149997018277645111083984375... ，并根据内切圆半径与三边长的关系的公式r=Δ/s，计算得到内切圆半径后得到：
r=0.39999999999999999067412659314868...<0.399999999999999991<0.4
于是他说”数据有错误存在” 。那么，问题在哪里呢？我问了这个网友。“你算过arctan0.4吗？它是什么？”他答复说：
arctan0.4=0.38050637711236488630358791681043310449740571365810083757630562232420045782900310235886344609587293517803485732642567894881557567283982...。我又问他，“你为什么在数据后加……？它们是无理数吗？”他答复说“BC长是无理数”。 为此，我不用算半底角数值，就算出,AC=BC=29/21,  三角形ABC的半周长为50/21, 三角形ABC的面积为20/21,  并 由此，根据内切圆半径计算公式 r=Δ/s,算得：r=0.4 。从而解决了这个“数据有错误存在” 的问题。这个问题说明：①当问题能精确算出时，不要用近似算法；②使用计算器或软件得出近似数据后，不要加上……写出绝对准等式。  
6 不能使用近似计算推翻理想实数理论下的等式与定理
在数学中国网站上，有个网友提出：“已知:直角△ABC，∠B=90°∠A=89.999999982°，直角边AB=1，斜边AC，BD垂直AC，BC=1*tan89.999999982°，BD=AB*BC/AC，CD=√(BC^2-BD^2)，求证BC+CD)*(BC-CD)=BD^2，数据检验和验证BC+CD)*(BC-CD)≠BD^2，数据有错误tan89.999999982=3183098861.8379067152729555123...”
对这个问题，我认为：从绝对准线段长度即理想实数出发，就可以证明：BC+CD)*(BC-CD)≠BD^2 是绝对准意义下的等式。
但使用等式tan89.999999982=3183098861.8379067152729555123...时，需要知道：这个数据是从计算器上得到的近似值后加……写出的，它不是tan89.999999982的精确值。不能由此推翻上述绝对准计算得出的理想实数理论下的邓式与定理。
7 结论
有尽十进位小数是好的理想实数，它不仅与度量单位之间具有明显的关系，而且这种理想实数之间有确切的四则运算法则；除不尽的分数与无理数都需要使用有尽十进位小数近似序列的极限表示。无穷数列的极限值与无穷级数和都具有不可达到的性质，因此近似计算常常是必须的。通过理想实数之间的绝对准运算可以得到理想性质的勾股定理与三角函数定义与关系式，但三角函数值很多是无法绝对准算出的。无尽小数是有尽位小数为项的无穷数列的简写；它们都不是定数。不能把有尽小数的近似值加……作为理想实数的准确值进行代数运算。

wangyangke

二百五看看，这是不是二百五——

jzkyllcjl

第一，elim: 在你坚持“无尽小数 3.1415926……能写到底， 并坚持 等式π=3.1415926……成立” 的情况下， 你应当能判断出或算出 “无尽小数3.1415926……的表达式中“没有100个连续的0，有奇数个100个俩虚的0，或有偶数个100个连续的0” 三种情况的哪一种出现，你算吧！
第二， 对于我，因为我坚持 ”无尽小数 3.1415926……是写不到底的事物，它不是定数“，我认为“无尽小数3.1415926……的表达式中“没有100个连续的0，有奇数个100个俩虚的0，或有偶数个100个连续0” 的问题都是不可判断问题。所以我不去计算 “无尽小数3.1415926……的表达式中“没有100个连续的0，有奇数个100个俩虚的0，或有偶数个100个连续的0”三种情况哪一种成立的问题。

wangyangke

在曹俊云所说的曹俊云所谓的“改革”“依赖真理”“会成功”的前提下，曹俊云半途而废，就是曹俊云愚蠢！曹俊云就是二百五！
“恩格斯的一段话”、“茅以升的话”、对立统一、庄子的一尺之锤、幻想与现实、无穷是写不完、走不过去回头看看、实践、辩证法、太极图、曹俊云的小孙子及其教师、小学课本、除旧创新等等都在帮助曹俊云或者支撑曹俊云的改革，如果曹俊云的的改革再停止不前或不成功，曹俊云就是扶不起的阿斗，曹俊云就是糊不上墙的烂泥巴，曹俊云就是二百五！

elim

第一，jzkyllcjl 的畜生不如性决定了他只有区区几个自然数，所以他证明不了Pi 的存在性。
第二, 任何有关无尽小数各位数字分布的问题都可以表示为对应的渐近有限小数序列的项的有效数值的分布问题。jzkyllcjl 对无尽小数意义的篡改没有正面意义，也不会改变有关分布问题的判定性质。
第三，布劳威尔无法构造出三分律反例，jzkyllcjl 无法判定有这种反例，我不认为存在三分律的反例，自然不会帮极端的直觉主义布劳威尔“解题”，也不会帮坚持畜生不如原理的 jzkyllcjl 解题。既然两位拿不出例子，扯三分律反例跟发神经就没有区别。
第四，现代理论数学的实践表明是人都把布劳威尔的“反例“当成伪命题而不屑，只有jzkyllcjl 反复念叨它，只能解释对畜生不如原理的走火入魔。

jzkyllcjl

你拿 “畜生不如” 污蔑人！
我多次说过。我的无尽小数概念是：它们是写不到底的事物，它们都不是定数。它们都是收敛无穷数列的简写。例如 3.1415926……是无穷数列3.1，3.14，3.141，……的简写，它的极限是圆周率。写这个数列，我不是半途而废，而是根据写出的法则求其极限。我还用数列中的足够大叔近似表示圆周率。
你不同意”写不到底的说法 “，那么请你把无尽小数写到底，即写完全！ 并判断出它的三种情况—— ”没有100个连续的0，有奇数个或有偶数个100个连续的0“ 中，哪一种成立？   

elim

你多次说你吃屎的实践以及你篡改无尽小数意义的事情大家还不知道，所以你再次声明这些是吗？

wangyangke

曹俊云搞改革，半途而废，就是二百五哟，，，

wangyangke

曹俊云的的改革再停止不前或不成功，曹俊云就是扶不起的阿斗，曹俊云就是糊不上墙的烂泥巴，曹俊云就是二百五！

jzkyllcjl

wangyangke 发表于 2016-8-1 08:10
曹俊云的的改革再停止不前或不成功，曹俊云就是扶不起的阿斗，曹俊云就是糊不上墙的烂泥巴，曹俊云就是二百 ...

我对1楼的论述，做了一些改革。请你认真研究，不要重复你的没有具体意见的帖子。