[求助]关于二次型的规范型的问题

yinqilaiwr1

我们假设同是N阶的矩阵A和B已经是合同的。那么根据定理  A与B的正，负惯性系数相同。这没有问题。然后书上就说可以推出规范型相同。  我想问的是 正负惯性系数相同 只能说明他们的规范型中正负项的个数相同，但不是整个规范型相同啊。
比如A与B合同，A对应那个规范型是Z1的平方+Z2的平方-Z3的平方。而B对应的那个规范型是Z1的平方-Z2的平方+Z3平方。 他们对应的规范型有相同的正惯性系数2,和相同的负惯性系数1。 这也满足那个定理了 但是他们的规范型明显不同。 A的Z1 Z2 Z3 的系数是1 1 -1 而B的Z1 Z2 Z3的系数是1 -1 1. 这就说明A 和B 变成规范型的那个矩阵肯定也不同。 综合我上面自己的观点， 请给位说说为什么说A与B合同 那么他们的规范型相同。
   
  而且现在对规范型唯一也不理解了。比如现在已经有了标准型：F=3X1方+5X2方-7X3方。 我要把他化成规范型。 按照书上的方法 我可以令Z1=根号3乘以X1 Z2=根号5乘以X2  Z3=根号7乘以X3。所以F的规范型就变成了Z1方+Z2方-Z3方  这是一种求法。 因为一个二次型的正负惯性系数是确定的。所以 我还可以令Z1=根号7乘以X3 Z2=根号3乘以X1 Z3=根号5乘以X2 这时F的规范型为-Z1方+Z2方+Z3方。 这两个求法的正负惯性系数都相同。 但形式明显不同。第一种Z1 Z2 Z3的系数是 1 1 -1；而第二种做法的Z1 Z2 Z3的系数是-1 1 1。 Z1 Z2 Z3的系数都不同， 所以整个形式都不同了，而且Z1 Z2 Z3这3个量代表的含义肯定不同，所以他们系数的不同 带来了本质也就不一样。 所以为什么说规范型唯一呢？如果说规范型的正负惯性系数唯一 肯定没问题。
感谢各位高手啊！！！！！！！！！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/24 00:11am 第 1 次编辑]

对于二次型的规范形，有这样的规定：
系数为 +1 的项必须写在前面，系数为 -1 的项必须写在后面。
如果只是变成 Z1^2-Z2^2+Z3^2 或 -Z1^2+Z2^2+Z3^2 的形式，还不能算是规范形。
必须再作进一步的变换，直到变成 Z1^2+Z2^2-Z3^2 的形式，才能算是变成了规范形。

yinqilaiwr1

首先非常感谢你的回答！
然后我还有疑问就是：
我用的同济大学的第4版线性代数 里面有到例题：已经把一个二次型化为了标准型f=-3y1方+y2方+y3方+y4方然后说要把他化为规范行 只需令y1=根号3分之一的z1 y2=z2 y3=z3 y4=z4 即f的规范型为f=-z1方+z2方+z3方+z4方。 书上就是这么写的！从书上这点看 他并没有按照你说的按照“正 负 0”的顺序排列。而且按照你上面的表达这个不是规范型 他的规范型是f=z2方+z3方+z4方-z1方。 前面三个+1系数的项随便怎么顺序都行，还是和你说的按“正项 负项 0”一样的顺序。 那么这不就出现多种情况了吗？ 假如我把带负项的那个令成y1=根号3分之一的z2。那么最后的f规范型的表达式为f=z1方+z3方+z4方-z2方，这明显与f=-z1方+z2方+z3方+z4方不同。 因为起码作为z2项的系数 第一个为-1，而后一个为+1 这不就出现规范型的两种方式了吗？
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 yinqilaiwr1 在 时添加 -=-=-=-=-

luyuanhong

下面引用由yinqilaiwr1在 2010/10/24 02:56pm 发表的内容：
首先非常感谢你的回答！
然后我还有疑问就是：
我用的同济大学的第4版线性代数 里面有到例题：已经把一个二次型化为了标准型f=-3y1方+y2方+y3方+y4方然后说要把他化为规范行 只需令y1=根号3分之一的z1 y2=z2 y3= ...

    我没有看过同济大学的《线性代数》的书，不知道书里是怎么说的。
但是，按照正确的做法，把 f = -3 Y1^2+Y2^2+Y3^2+Y4^2 化为规范形，应该令
Z1=Y4 ，Z2=Y2 ,Z3=Y3 ,Z4=√3 Y1 ，这样就可以得到符合规定的规范形
  f = Z1^2+Z2^2+Z3^2-Z4^2 。

yinqilaiwr1

您指的是把 f = -3 Y1^2+Y2^2+Y3^2+Y4^2 化为规范形，应该令
Z1=Y4 ，Z2=Y2 ,Z3=Y3 ,Z4=√3 Y1 ，这样就可以得到符合规定的规范形
f = Z1^2+Z2^2+Z3^2-Z4^2 。
只能有这一种令法吗？ 那假如说有两个负项 就是说F=Y1方-2Y2方-5Y3方。
那么按照您的令法 只能是Z1=Y1 Z2=根号2Y2 Z3=根号5Y3 得到的是F=Z1-Z2-Z3。
如果我令Z1=Y1 Z2=根号5Y3 Z3=根号2Y2  这样的令法也没有错啊 那么我得到的规范型不就是F=Z1-Z3-Z2了吗 虽说减法也有交换律  但是即使交换回F=Z1-Z2-Z3 那么二者设的不同 然后产生了同一种写法，不还是两种形式吗？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/25 08:06am 第 1 次编辑]

下面引用由yinqilaiwr1在 2010/10/24 05:18pm 发表的内容：
您指的是把 f = -3 Y1^2+Y2^2+Y3^2+Y4^2 化为规范形，应该令
Z1=Y4 ，Z2=Y2 ,Z3=Y3 ,Z4=√3 Y1 ，这样就可以得到符合规定的规范形
f = Z1^2+Z2^2+Z3^2-Z4^2 。
只能有这一种令法吗？ 那假如说有两个负项 就是说 ...

再说得清楚一些，二次型的规范形就是下面这样的形式：
    f=Z1^2+Z2^2+Z^3+…+Zm^2-Z(m+1)^2-Z(m+2)^2…-Z(m+n)^2 。
要求：（1）下标严格按照 1，2，3，… 从小到大的次序排列。
     （2）系数为 +1 的项排在前面，系数为 -1 的项排在后面。
所以，f=Z1^2-Z3^2-Z2^2 不符合规定，只有 f=Z1^2-Z2^2-Z3^2 符合规定。
一个二次型化成规范形的方法可以多种多样，但最后得到的规范形是唯一的。

yinqilaiwr1

如果严格按照你说的那样  这样就是我所想的！如果按照上面所说的规定 那肯定就是唯一的形式了。我也没疑问了。
问题我那同济大学第四版的线性代数 没说的像你这么详细。 请问您这个从哪里来的？我去看看那本书。谢谢啊！！

yinqilaiwr1

对了 然后还有一点疑问 就是规范型有您刚才说的那个要求。 那么我们说的标准型他是不唯一的。 那就是说他没什么要求 任何一个二次型 只要把他化为仅含平方项的说 不管下标是不是按“1，2，3。。。”这样的顺序排列，也不管到底是正的在前还是负的在前，都是标准型对吗？ 或者说标准型没有您说的那些限制，只要仅仅化成仅有平方项就叫标准型了 对吗？？

luyuanhong

下面引用由yinqilaiwr1在 2010/10/26 01:06pm 发表的内容：
对了 然后还有一点疑问 就是规范型有您刚才说的那个要求。 那么我们说的标准型他是不唯一的。 那就是说他没什么要求 任何一个二次型 只要把他化为仅含平方项的说 不管下标是不是按“1，2，3。。。”这样的顺序排 ...

二次型的标准形，就是下面这样形式的式子：
  f=A1 Y1^2 + A2 Y2^2 + … + An Yn^2 ，
其中，A1,A2,…,An 是可正可负的常数。标准形不是唯一的。
至于规范形，一般书上，也就是写出类似下面这样形式的一个式子：
  f=Z1^2+Z2^2+Z^3+…+Zm^2-Z(m+1)^2-Z(m+2)^2…-Z(m+n)^2  ,
从这式子，我们应该体会到，其中自然有我说的那几条规定。

yinqilaiwr1

嗯  是的 对于规范型一般书上就是那么写。但是我那同济四版书上却有个不按照那个写的例题 就是我说举那列子。

至于标准型  他的那些系数可正 可负 可0。而且不一定按照正前负后的顺序排列对吧 他是随便的 所以标准型不唯一？！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 yinqilaiwr1 在 时添加 -=-=-=-=-
也就是说只要化成仅含平方项的就行 不管正负顺序和下标顺序就叫做已经化成了标准型，而那个式子就叫标准型 对吧？？？？？？下标顺序也没有规定？？