f 在 [0,1] 可积，m≤f(x)≤M ，x∈[0,1] ，求证：∫f(x)dx∫dx/f(x)≤(m+M)^2/(4mM)

wilsony · 发表于 2016-8-29 11:21

本帖最后由 luyuanhong 于 2016-8-31 22:56 编辑

大师愿否赐教？

ccmmjj · 发表于 2016-8-30 12:25

我若不做，怕是没人做了。

基础小魔王 · 发表于 2016-8-30 12:40

说好的基础

ccmmjj · 发表于 2016-8-30 18:02

基础小魔王发表于 2016-8-30 04:40
说好的基础

你的甚础是怎样的呢？这个版面人气最旺，很简单的东西也有，你只要多翻页就可以了。

elim · 发表于 2016-8-31 03:57

ccmmjj 兄的解很漂亮。隐约记得以前论坛有过这种题目，找不到了。

下面是你解的精简版：

wilsony · 发表于 2016-8-31 10:48

谢谢！

luyuanhong · 发表于 2016-8-31 12:04

楼上 ccmmjj 和 elim 的解答很好！

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

angel_phoenix88 · 发表于 2016-9-5 19:31

构造函数g(x)＝(f(x)－m)*(1/f(x)-1/M)
很显然g(x)在区间(0，1)之间的定积分大于等于零
展开得4sqrt(∫f(x)dx*∫1/f(x)dx*m/M)≤∫f(x)dx/M＋m*∫1/f(x)dx≤(1＋m/M)
获得要证明结果

angel_phoenix88 · 发表于 2016-9-5 19:36

8#
发表于 2016-9-5 19:31 | 只看该作者
构造函数g(x)＝(f(x)－m)*(1/f(x)-1/M)
很显然g(x)在区间(0，1)之间的定积分大于等于零
展开得2sqrt(∫f(x)dx*∫1/f(x)dx*m/M)≤∫f(x)dx/M＋m*∫1/f(x)dx≤(1＋m/M)

angel_phoenix88 · 发表于 2016-9-5 19:51

构造函数g(x)＝(f(x)－m)*(1/f(x)-1/M)
很显然g(x)在区间(0，1)之间的定积分大于等于零
展开得2sqrt(∫f(x)dx*∫1/f(x)dx*m/M)≤∫f(x)dx/M＋m*∫1/f(x)dx≤(1＋m/M)

第一第三项平方再整理下就能获得要证明结论

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