小学五年级奥数四、五星级难题（征求最优解答）

天山草

【1】有 4 个人的体重都是整千克数，他们两两合称体重。共称了五次，各是99，113，125，130，144 千克。其中有两人没有一起称过，那么这两人当中较重的那个人体重是多少千克？（四星级★★★★）

【2】某次考试共有100道题。每题 1 分。做对得 1 分，做错不扣分。甲乙丙三位同学分别得了 90，70，50分。其中三人都做对的题目叫 “容易题”，有两人做对的题目叫 “一般题”，有一人做对的题目叫 “较难题”， 没有人做对的题目叫 “特难题”。已知较难题的数量等于特难题数量的三倍，又已知丙同学做对的题中超过 80%的是容易题，但又不全是容易题。请问，特难题一共有多少道？ （五星级★★★★★）

【3】中关村一小、中关村二小两校春游的人数都是10的整数倍，出行时两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满。若两校都租用有14个座位的旅游车。则两校共需这种车 72 辆。若两校都租用有19个座位的旅游车。则中关村二小要比中关村一小多租用这种车 7 辆。请问两校参加春游的人数各是多少？（五星级★★★★★）

【4】数学家维纳在博士毕业典礼上说：“我现在年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含数字 0 至 9 各一次，所以所有数字都得朝拜我。我将在数学领域干出一番大事业。” 请问，他是几岁博士毕业的？（四星级★★★★）

【5】请写出 5 个不同的最简分数，分子都是 2，而且这 5 个分数组成一个等差数列。（五星级★★★★★）





征求最优解答。可以列方程，十八般武艺都可使用。

angel_phoenix88

第三题的求解，设两校人数分别是10a和10b
则14*70+2≤10a+10b≤14*72(1)
115＝6*19+1≤10b－10a≤7*19+18＝143(2)
得出99≤a+b≤100(3)
12≤b－a≤14(4)
b＋a与b-a同奇偶
可能解1)b＝56，a＝43(验算后排除，14人出行只需71辆车)
2)b＝56,a＝44(验算后排除，19人出行只多6辆车)
3)b＝57,c＝43(验算满足)

angel_phoenix88

第四题
设年龄为x
年龄的三次方是四位数，10≤x≤((ln9.9)/ln3)*10，也可以简单试算下int((10000)^(1/3))＝21(因为22^3＝484*22)
年龄四次方是六位数l(n10)/l(n4)*18≤x≤ln(99)/(ln4)*10，可以试算出下限是18
18-21直接的四个数，直接排除20先(0个数不对)

18^3＝(20-2)^3＝8000-2400+240-8＝5832,排除
19^3＝(20-1)^3＝8000-1200+60-1＝7859，包含9

21^3＝(20+1)^3＝8000+1200+120+1＝9321,包含9
19^4＝(20-1)^4＝160000-4*8000+6*400-4*20+1＝140321，包含0,符合条件
21∧4＝(20+1)^4＝160000+4*8000+6*400+4*20+1＝194481;不包含0且包含9,排除

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好玩就玩一下：

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第[2]题笔误，由（3）知，改为由（4）知

angel_phoenix88

第一题我针对一种特例的求解
设四人体重分别为a，b，c，d，满足a＜b＜c＜d
a为奇数，b，c，d为偶数
a+b＝99(1)
a+c＝113(2)
a+d＝125(3)
b+d＝130(4)
c+d=144(5)
b+c未知
前三项之和－后两项和，获得3a－d=63(6)
a≤49，由(1)得出
d≥73(7)，由(5)得出
(7)代入(6),获得a≥46(8)
根据a是奇数假设，只能取47和49
a＝47时，可以获得b＝52,c＝66,d＝78
a＝49时，无解
答案是
至少66是一个答案，我不知道是否唯一

王守恩

第一题答案：

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第[1]题解释下：
恒等式[a+b]+[c+d]=[a+c]+[b+d]=[a+d]+[b+c]=a+b+c+d(四人总重)
已知条件恰好有99+144=113+130=125+？=243,设[b+c]=?,有b+c=118

恒等式[a+b]-[a+c]=[b+d]-[c+d]=b-c
已知条件恰好有144-130=113-99=14=b-c     (b重)
           或者130-144=99-113=-14=b-c    (c重)

联解上面两式，得唯一解，重的那个必然是66

0-1110

0-1110 发表于 2016-9-22 12:07
好玩就玩一下：

有1人做错，就不是“容易题”了