设 n 为正整数，求形式为 3n^2-1 的完全平方数的个数

luyuanhong

这是网友 问题多答案怪 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

设n为正整数，求以3n^2-1之形式的平方数的个数

luyuanhong

题  设 n 为正整数，求形式为 3n^2-1 的完全平方数的个数。

解  当 n=2k 为偶数时，n^2=(2k)^2=4k^2 是 4 的倍数。

    当 n=2k+1 为奇数时，n^2=(2k+1)^2=4(k^2+k)+1 是 4 的倍数加 1 。

    可见，一个完全平方数，只可能是 4 的倍数或 4 的倍数加 1 这两种形式。

    当 n^2=4m 是 4 的倍数时，3n^2-1=3×4m-1=4(3m)-1 ，它不是 4 的倍数，

也不是 4 的倍数加 1 ，所以，这时 3n^2-1 不可能是完全平方数。

    当 n^2=4m+1 时，3n^2-1=3(4m+1)-1=12m+3-1=4(3m)+2 ，它不是 4 的倍数，

也不是 4 的倍数加 1 ，所以，这时 3n^2-1 也不可能是完全平方数。

    可见，任何情况下，3n^2-1 都不可能是完全平方数，所以，形式为 3n^2-1

的完全平方数的个数为 0 。