已知正实数 a+b+c=1 ，求证不等式：(a-bc)/(a+bc)+(b-ca)/(b+ca)+(c-ab)/(c+ab)≤3/2

luyuanhong · 发表于 2016-9-25 18:09

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

angel_phoenix88 · 发表于 2016-9-26 18:53

左右侧同时加三(左侧三拆成三个1)再除以2，再利用a＝1-b-c变换分母
等价于证明a/((1-b)(1-c))＋(b/(1-a)(1-c))＋(c/(1-a)(1-b))≤9/4
左右两侧同时乘以4(1-a)(1-b)(1-c)，移项，
等价于于证明9(1-a)(1-b)(1-c)+4(a^2+b^2＋c^2)≤4
很显然
左侧≤9*(2/3)^3＋4*3*(1/3)^2＝4

angel_phoenix88 · 发表于 2016-9-26 18:55

结论有问题

angel_phoenix88 · 发表于 2016-9-26 18:55

结论有问题

ccmmjj126 · 发表于 2016-9-27 16:23

本帖最后由 ccmmjj126 于 2016-9-27 16:25 编辑

这个题目是有意义的。我证证看。

0-1110 · 发表于 2016-9-27 16:41

luyuanhong · 发表于 2016-9-27 16:55

楼上 0-1110 的解答很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

angel_phoenix88 · 发表于 2016-9-27 19:15

没想到继续变换

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已知正实数 a+b+c=1 ，求证不等式：(a-bc)/(a+bc)+(b-ca)/(b+ca)+(c-ab)/(c+ab)≤3/2

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