对于任何一个质数 p ，证明：存在无穷多个正偶数 k 使得 p^2+k 为合数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  对于任何一个质数 p ，证明：存在无穷多个正偶数 k 使得 p^2+k 为合数。

证  令正偶数 k = 2np（ n = 1,2,3,4,… ），就有 p^2+k = p^2+2np = p(p+2n) 。

    它是两个大于 1 的因数的乘积，显然是一个合数。

    因为 n = 1,2,3,4,… 有无穷多个，所以正偶数 k = 2np 也有无穷多个。

奇数的世界

陆教授解答得不错，如果我将题目改一下。即：p(p+2n) 能否表示所有的合数？

luyuanhong

奇数的世界 发表于 2016-9-29 16:42
陆教授解答得不错，如果我将题目改一下。即：p(p+2n) 能否表示所有的合数？

当 p 是一个奇数时，p+2n 也是一个奇数。

当 p=2 是一个偶数时，p+2n 也是一个偶数。

所以，p(p+2n) 能表示的合数，必须能分解为两个奇数的乘积，或两个偶数的乘积。

如果一个合数，只能分解为一个偶数与一个奇数的乘积，例如 6=2×3 ，就无法表示成 p(p+2n) 的形式。

奇数的世界

luyuanhong 发表于 2016-9-29 17:22
当 p 是一个奇数时，p+2n 也是一个奇数。

当 p=2 是一个偶数时，p+2n 也是一个偶数。

陆教授分析得很好。如果我将题目再改一下：即：p(p+2n) 能否表示所有的奇合数？这时p就不为2了。

任在深

宇宙单位数的通项公式是：

       1.  Ω(N)=[(NnAn+48)^1/2-6]^2
       2.  Nn=[N+12(√N-1)]/An
       3.  An=[N+12(√N-1)]/Nn

把(2)式代入(1)式得：

    4. Ω(N)=【{[N+12(√N-1)]/An}An+48}^1/2-6】^2
              ={(N+12√N-12+48)^1/2-6}^2
              ={[(N+12√N+36)^1/2-6}^2
              ={[(√N+6)^2]^1/2-6}^2
              =(√N+6-6)^2
              =(√N)^2
              =N
     N=1.2.3......


                                                     欢迎批评指正！