已知 ΔABC 中 ∠B=2∠C ， D 是 BC 上一点，使得 AB=CD ，求证：AB=AD=CD

ccmmjj126 · 发表于 2016-9-28 10:13

本帖最后由 luyuanhong 于 2016-9-30 11:06 编辑

如图；已知 ΔABC 中 ∠B=2∠C ， D是BC上一点，使得 AB=CD ，求证：AB=AD=CD。

ccmmjj126 · 发表于 2016-9-30 10:36

证明：如图，作ΔABC的外接圆，及AC弧的中点E。由已知∠B=2∠C，可知AB弧=AE弧=CE弧,于是AB=AE=CE，且AE∥BC。又因为AB=CD，于是得四边形ADCE是平行四边形中的菱形。即得AB=AD=CD.

ccmmjj126 · 发表于 2016-9-30 10:44

由上图可知，∠α=∠β,若AD是角平分线，则∠BAC=72°.

luyuanhong · 发表于 2016-9-30 10:56

楼上 ccmmjj126 的帖子很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

xfhaoym · 发表于 2016-9-30 12:26

补充一下，若角BAC=90度　角abc=60度　　角bca=30度。使AB=AD=DC

王守恩 · 发表于 2017-8-26 11:14

AB=sin(∠DAC+∠C) DC=sin(∠DAC)sin(2∠C)/sin(∠C)
因为AB=CD 所以 sin(∠DAC+∠C)=sin(∠DAC)sin(2∠C)/sin(∠C)
整理得sin(∠DAC+∠C) sin(∠C)/[sin(∠DAC)sin(2∠C)]=1
观察可得唯一解；∠DAC=∠C

天元酱菜院 · 发表于 2017-8-26 13:59

本帖最后由天元酱菜院于 2017-8-26 14:58 编辑

此题如下方法做，似也可说的过去。

因为在求证中，三角形ABD成为等腰三角形是结果之一，那我们就做一个等腰三角形，根据直线同方向上到一点距离的唯一性做出证明。

以A为圆心以AB为半径划弧与AC交于D' 点，连接AD'
由作法，AB=AD', 于是，角AD'B=角ABC；
由外角定理，角D'AC=角AD'B - 角D'CA =2角C-角C=角C
于是，D'C=AD'，既有D'C=AD'=AB

在从C点到B点的射线上，截取AB长度获得的点是唯一的，所以，D点重合于D’点。
所以，有AB=AD=DC

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