[分享]一个漂亮的关系式

elimqiu · 发表于 2010-11-6 07:58

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试证明：

drc2000 · 发表于 2010-11-7 18:27

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感觉似乎做个倒数变换,利用到黎曼积分的定义可以证出.

ccmmjj · 发表于 2010-11-8 19:42

这个积分应可以在（0，1]内划分各区间[1/（n+1),1/n]，n=1,2,3,....,然后在各区间计算积分和与左边级数部分和作比较，也许差是一个无穷小。具体的证明，还是等 elimqiu 兄作出。

elimqiu · 发表于 2010-11-9 06:17

x^(-x) = e^(- x ln x) = ∑ (1/n!)(- x ln x)^n
两边在[0,1]积分,交换积分与求和的顺序...

elimqiu · 发表于 2010-11-9 06:54

luyuanhong · 发表于 2010-11-9 11:38

elimqiu 的证明确实很巧妙，不容易想到。下面，我把这个证明写得更详细一些，让大家看看：

elimqiu · 发表于 2010-11-9 11:56

谢谢楼上陆老师的综合

elimqiu · 发表于 2010-11-9 20:04

这个级数的收敛之‘快’是很惊人的

000-000-000 · 发表于 2010-11-10 01:19

这道题不错，从中学到了知识和二位老题的漂亮证明。

ccmmjj · 发表于 2010-11-11 16:57

elimqiu 兄证得好！我象看到了经典教科书里的证明。就象欧拉的技巧。如果这个极限及证明是 elimqiu 的原创的话，我想他离大数学家的路不远了。在下囿于资质和环境，不能和 elimqiu 兄共同研讨高深的学问，实在是遗憾。

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