[分享]一个不等式

elimqiu

drc2000

请提示一二.

elimqiu

考虑 a,b ∈ （0，1） 就够了。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=- 对于 x > 0, 0

wangyangkee

elimqiu 老师，不可一世的派头，令人作呕；
无可言表的高水准让人钦佩。

elimqiu

什么派头是不可一世的？像 wangyangkee 指点江山那样吗？ 至于水平么。没有什么谱么。所以就不可言表好了。

wangyangkee

elimqiu 老师，不可一世的派头，令人作呕；
但是，其学术的高水准让人钦佩。

elimqiu

elimqiu

楼上的证明用到了 a^b+b^a 的对称性和一个简单的辅助不等式。不知有没有更简单的证法。
一个附带的问题是：这个不等式能不能优化？ 即
(1)能不能找到某常数 k > 1 使得 a^b + b^a ≥ k  对一切正实数 a, b 成立？
(2)区域 a,b> 0 上的二元函数 a^b+b^a 能不能连续地扩充到闭区域 a,b ≥ 0 上？

ccmmjj

k=2(1/e)^(1/e)?

elimqiu

固定 a > 0,
lim (a^b + b^a) = 1
b→0+
所以在开区域 a,b > 0 中不等式不能再优化了。