两等圆 P,Q 相切，与圆 O 内切于 A,B，过圆 Q 上一点作 CD 垂直于 OPA，求证：AB=AD

ccmmjj126

一道老题，我把它简化（去掉不少趣味）如下：
如图；两等圆P、Q相切并内切于圆O，切点为A、B。过圆Q上靠近O的一点C作圆Q的切线恰垂直OA于D。
求证：AB=AD。

ccmmjj

先给出证明如下；

ccmmjj

这个问题原是"三圆拱弧"，用的图片如下(从几何吧)截来，稍作修饰：要证三白线相等。

一般的做法是这样的，如下图，这样分割后，利用角α，计算出这两条线段都等于2r(1+cosα).

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ataorj

两等圆切点为E
由矩形ADCX[请自行画X]易知E为AC中点,DE=AE
OE为A,B两点的对称轴,则AE=BE[=CE],角ABC=90度
CD为切线,所以角ACD=角EBC
而EC=EB,所以角ACB=角EBC=角ACD
则显然△ADC≌ABC,AB=AD

王守恩

ccmmjj 发表于 2019-3-24 22:00
这个问题原是"三圆拱弧"，用的图片如下(从几何吧)截来，稍作修饰：要证三白线相等。

一般的做法是这样的 ...

提炼一下(结合1#,2#,3#，没有配图)：几何高手 ccmmjj 会看懂的。
等腰三角形(3个点是小圆圆心)，已知顶角=2a，底角=b，腰长=1，
腰中垂线与底中垂线的交点是大圆圆心，求证：大圆半径/sin(a)=AB/sin(2b)  
即    (sin(2a)+2sin(2a)cos(a)-2sin(a)cos(2a))/(2sin(a)+sin(2a))=1