平面图的最小完全同态的亏格仍然是0——四色猜测证明方法之六

雷明85639720

平面图的最小完全同态的亏格仍然是0
——四色猜测证明方法之六
雷  明
（二○一六年十一月一日）

在《平面图最小完全同态的顶点数是不大于4的——四色猜测的证明方法之一》一文中虽然已证明了平面图的最小完全同态的顶点数是不会大于4的，但并没有说明这个最小完全同态的亏格与原图的亏格之间的关系。因为最小完全同态都是K4的图，其原图的亏格可能是不同的，有的是0，是平面图；而有的却是1，则是非平面图；有的原图中最大团就是K4，而有的则是K3。所以有必要再研究一下平面图的最小完全同态的亏格问题，并从这一角度去研究一下四色猜测。
1、图的亏格：
研究图的亏格，首先要知道曲面的亏格，因为图是可嵌入曲面上的。所谓嵌入，即是把图画在曲面上后，除了在顶点处有边与边相交叉外，别的地方再没有边与边相交叉的情况存在。曲面的亏格，形象的说，就是把在“球”面上所“焊接”的“环柄”的多少，或者在“棒形饼干”面上所“挖去”的“孔洞”的多少，定义为曲面的亏格。曲面上有几个环柄或孔洞，其亏格就是几。一个图可以嵌入在多个亏格的曲面上，把其中亏格最小的曲面的亏格，就叫做可嵌入到该曲面上的图的亏格。例如K5和K3，3都能嵌入到亏格为1的轮胎面上，而不能嵌入亏格为0的球面（平面。从测地学的观点上看，球面和平面的亏格是相同的，都是0）上，所以K5和K3，3的亏格都是1；而K4虽然能同时嵌入到轮胎面和球面上，但两个曲面的亏格最小的是0，所以K4图的亏格就是0。
2、图的最小完全同态的亏格小于等于原图的亏格在《平面（球面）上可嵌入完全图的顶点数不大于4——四色猜测证明方法之三》一文中已经证明了可嵌入每种亏格曲面都对应有一个顶点数最多的完全图，其顶点数是v≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞，这也就是可嵌入该曲面的图的最大密度 。别的可嵌入该曲面的同亏格的图的最大团的顶点数也一定是不大于v≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞。这些图同化的最后结果——最小完全同态的顶点数也是不会大于v≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞的。虽然图同化时，最小完全同态的顶点有增大的可能，但其增大是不可能大于其可嵌入的曲面上的最大完全图的顶点数的，否则，这个图就不可同嵌入到该亏格的曲面上了。所以说，图的最小完全同态的顶点数一定是小于等于其可嵌入的曲面可嵌入的最大完全图的顶点数的，其亏格也是不大于其原图的亏格的。
例如，一个最大团是K4的图，不大于亏格为0 的平面图的最大完全图的顶点数，虽其色数可以是5，最小完全同态的顶点数是5，但从所画的图中可以看出，这种图总是存在着在顶点以外边与边相交叉情况的，其边数也是大于3v－6的，这个图本身就是不能嵌入亏格为0的平面上的非平面图，其亏格本来就是1，如图1。由于最大团是K2的K3，3的亏格是1，但其最小完全同态的顶点数却仍是2，是一个亏格为0的平面图，如图2；还有最大团是K4的非平面图，其最小完全同也可能仍是K4，也是一个亏格为0的平面图，如图3。



3、平面图的最小完全同态的亏格仍是0
上面已证明了任意图的最小完全同态的亏格是不大于原图的亏格的，那么亏格为0的平面图的最小完全同态的亏格也就一定是不大于0的，最小完全同态仍是平面图。
4、四色猜测的证明
在亏格为0的图中，完全图的顶点数只有1，2，3，4四种，均不大于4。又由于图的色数等于其最小完全同态的顶点数，平面图的最小完全同态的亏格仍是0，所以平面图的色数也就不会大于4。这也就证明了四色猜测是正确的。

雷  明
二○一六年十一月一日于长安

注：此文已于二○一六年十一月一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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