5—轮构形是可约的——四色猜测证明方法之八

雷明85639720

5—轮构形是可约的
——四色猜测证明方法之八
雷  明
（二○一六年十一月一日）

坎泊已经证明了地图的不可免构形集是由2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形和5—轮构形组成的集合：{ 2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形，5—轮构形 }，并且于1879年证明了2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形以及一部分5—轮构形是可约的，即是可4—着色的。而遗漏了5—轮构形中，在5—轮的对角顶点中含有两条连通链，且两链有两个以上相交顶点的情况。1890年赫渥特构造出了这样的一个具有被坎泊遗漏了的构形的图——赫渥特图，但坎泊与赫渥特都不能对其进行4—着色。可以说，至少在1990年以前——爱好者没有对赫渥特图4—着色以前，是没有人对赫渥特图进行4—着色的。现在我们就仍然使用坎泊所创造的颜色交换技术，证明赫渥特构造的这一类构形是否可约。
1、赫渥特图（构形）的特征
赫渥特图的主要特征是在5—轮的轮沿顶点外，存在着两条有两个相交顶点的A—C和A—D链的图，当然该两连通链是不能进行交换的。赫渥特图中还存在着一条C—D环形链（含有5—轮轮沿上的顶点4和5两个顶点），分A—B链为环内、环外互不连通的两部分。赫渥特类型的构形如图1，a，这里特别要指出的是，该图中顶点6与7是一个单边，这是一个关键的地方。如果这6—7之间不是单边时，则这种有种两条有两个相交顶点的A—C和A—D连通链情况的构形，都是可以同时移去两个同色B给v而成为可约的。正因为6—7是单边，才产生了若从顶点1交换了B—D链后，则形成了从顶点3到顶点5的连通链B—C，使得B—C链再不能进行交换了；若从顶点3交换了B—C链后，又形成了从顶点1到顶点4的连通链B—D，也使得B—D链再不能进行交换了；出现了只能移去一个B，而不能同时移去两个B的情况。
2、赫渥特图的4—着色

现在赫渥特图（图1，a），是不可能同时移去两个同色B的，但可以从两链的任何一个相交顶点8（或1）开始交换A—B链，把连通的A—C和A—D链“断开”，使图变成一个有两条连通的B—C和B—D相交的、但只的一个相交叉顶点8B（或A）的可约构形（两链没有共同的起始顶点），如图1，b。我把这一解决方法叫“断链法”，这里是从两连通链的相交顶点进行断链的（其中一个相交顶点在5—轮的轮沿上）。
3、赫渥特类型的可移去两个同色的构形
如果图中有一条A—B环形链（只含有5—轮轮沿上的顶点2一个顶点），把C—D链分为环内、环外互不连通的两部分时，如图2，a。就是一个可同时移去两个同色B给V着上的赫渥特类型的构形，如图2，b。这里两次对关于B的链的交换是不分先后次序的。
另一种情况是，如果既没有A—B环形链，又没有C—D环形链，1B—8A，4D—6C，5C—7D，3B—8A都只是单边时，如图3。这又是两个可同时移去两个同色B给V的赫渥特类型的构形，但这两个构形两次交换关于B的链的次序是有区别的，即是有先后次序的（图中已写清了），若不按先后次序进行，则是不能同时移去两同色B的。


4、赫渥特类型的敢峰—米勒图的着色
敢峰—米勒图如图4（图4的画法是隐去了待着色顶点V的画法），其中A—B链和C—D链均有环形部分（圈）和直链部分（道路），两部分相同色链被相反的环形色链分隔开来，互不连通。环形的A—B链仍只经过5—轮的轮沿顶点2一个顶点，而环形的C—D链则不经过5—轮的轮沿顶点，而是另一条C—D直链经过5—轮的轮沿顶点4和5两个顶点。该图想通过从两链的相交顶点8（或2）交换A—B链进行断链，是不能达到目的的。我们可以想，只要把连通链能够断开，不一定都得从两链的相交顶点进行，别的顶点也是可以的。所以，从两链的非相交顶点4和5交换C—D链，或者从非相交顶点6和7等顶点交换C—D链，都可以使原来的A—C、A—D连通链断开，而成为可以同时移去两个同色B给V的、仍有两条连通链A—C和A—D，且只有一个共同起始顶点2的构形（没有相交叉的顶点）。这种解决敢峰—米勒图的方法也叫“断链法”。

5、一个特殊的赫渥特类型的构形
在以上的图3中，如果顶点1B—8A，4D—6C，5C—7D，3B—8A间均不是单边，而是一条链，图中又不存在任何环形链时，A—B链和C—D链都是一条直链，情况就比较复杂一点，如图5。
解决这类构形，既不能同时移去两个同色B，也不能用“断边法”使连通的A—C和A—D链断链，那么，就只有先交换一个关于B的链B—D或B—C，使构形由两个同色是B的“双B夹A型”的BAB型的5—轮构形，变成两个同色不是B的别的类型的“双×夹×型”的5—轮构形。
对图5中的两个图，从顶点1进行了B—D链的交换后，都可变成“双D夹C型”的DCD型的5—轮构形，而从顶点3进行了B—C链的交换后，也都可变成“双C夹D型”的CDC型的5—轮构形。变型后的构形，也存在着有没有环形的A—B链或环形的C—D链的问题，可能会成为可同时移去两个同色的构形，也可能会成为需要进行“断链”的赫渥特图或敢峰—米勒图，都可以用与前相同的方法进行解决。若还不能解决时，就再次进行变型，总是可以得解的。

例如在对图5左图从顶点1开始进行了B—D链的交换后，可变成一个“双D夹C型”的DCD型的构形，这个构形是可以同时移去两个同色的D的，但交换关于D 的两条链是有先后次序的；在对图5左图从顶点3开始进行了B—C链的交换后，可变成一个“双C夹D型”的CDC型的构形，这个构形是一个赫渥特型构形，可以用断链法进行解决。因为图5中左、右两个图是对称的，所以右图也就不再多说了。图读者可以自已去画一图。

6、四色猜测的证明
现在，我们已经证明了5—轮构形无论在那一种情况下的构形都是可约的，加上坎泊以前已经证明过的可约构形，地图的不可免集中的各个构形都已是可约的了。这就证明了四色猜测测是正确的。

雷  明
二○一六年十一月一日于长安

注：此文已于二○一六年十一月一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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