用断链法证明四色猜测——四色猜测证明方法之十二

雷明85639720

用断链法证明四色猜测
——四色猜测证明方法之十二
雷  明
（二○一六年十一月五日）

一个构形的待着色顶点，如果其围栏顶点占用的颜色数未达到4时，该待着色顶点都是可以着上四种颜色之一的；如果围栏顶点已占用完了四种颜色，则必须想办法从围栏顶点中空出一种颜色来，然后给待着色顶点着上。如何空出颜色，这就得灵活的运用坎泊的颜色交换技术了。
用坎泊的颜色交换技术空出颜色来给待着色顶点的原则是：首先要看，在以待着色顶点为中心顶点的轮中，对角顶点间的颜色所构成的色链是不是连通链，如果不是连通的链时，才可以进行交换，也才能空出颜色给待着色顶点。而如果是连通链时，即就是交换了这种链也是空不出颜色来的。
4—轮构形中只可能有一条连通链，该构形一定是可以通过坎泊的颜色交换，空出一种颜色给待着色顶点着上的。而5—轮构形的情形就不同了，其中有可能有两条连通链的可能。若两链只有一个共同的起点，或是只有一个交叉顶点时，也一定是可以通过坎泊交换空出颜色来给待着色顶点的。而只有当两条连通链既有共同的起点，又有交叉顶点时，则难以通过交换5—轮对角链的办法解决问题。这种情况怎么办？可以想到，既然不连通的链是可以交换的，那么是否可以把已连通的链变成不连通的呢？完全可以。没有了连通链，或者只有一条连通链，一定是可以通过交换空出颜色给待着色顶点的。这种方法我们叫做“断链法”。
断链方法的原理是：用四种颜色A、B、C、D所能构成的链有六种，即A—B、A—C，A—D，B—C，B—D和C—D六种，如果有A—B链是连通的时，则该链中的A和B在该链以外，只能与C和D相邻，构成A—C链和A—D链或者B—C链和B—D链，从A—B链上的任何一个A或B顶点起，开始交换上述的A—C链或A—D链（或者B—C链或B—D链）中的一种，都可以使A—B链上的被交换的顶点A或顶点B变成C或D，使A—B链断开。这样就可以对5—轮轮沿中的顶点A或B施行A—B链的交换，空出A或B来给待着色的5—轮中心顶点着上。
我们在对赫渥特图，敢峰—米勒图的着色中，使用的就是这种方法。可以说任何平面图中的任何链都是可以通过这一方法“断开”的。连通链断开了，就可以通过坎泊交换空出已用过的四种颜色之一，给待着色顶点着上。所以也就可以说明任何平面图着色时是不会用到第五种颜色的。这也就证明了四色猜测是正确的。

雷  明
二○一六年十一月五日于长安

注：此文已于二○一六年十一月五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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