在 1+11+111+…+111…111（2020 个 1）相加之和中，数字 1 共出现了几次？

luyuanhong · 发表于 2016-11-8 18:33

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

王守恩 · 发表于 2016-11-9 06:43

本帖最后由王守恩于 2016-11-9 09:20 编辑

根据题意：
个位上有2020个1，
十位上有2019个1，
百位上有2018个1，
千位上有2017个1，
万位上有2016个1，
........................
               2020*1+2019*10+2018*100+2017*1000+2016*10000+2015*100000.........（1）
（1）*10          0+2020*10+2019*100+2018*1000+2017*10000+2016*100000.........（2）
（2）-（1）  0-2020+（10+100+1000+10000）+100000+1000000...............................(3)
               =0-2020+（11110）+11111...1111（2016个1）00000
                        =9090+11111...1111（2016个1）00000
（1）=（3）*1/9=（9090+11111...1111（2016个1）00000）*1/9
                     =1010+012345679（224个1）00000
答：共有2+224=226个1。

排成竖式，直接相加。加的过程中找一找规律。

重生888 · 发表于 2016-11-9 20:22

看了2楼的竖排，结果应该只有一个1.
如果不是，那么是不是有（1+2020)*2020/2=2041210个1. 因为：
1
11
111
1111
11111
.......

竖排是2020个1，横排也是2020个1，因此共出现2020*（2020+1）/2个1.
看来只有这两种结果。

天山草 · 发表于 2016-11-10 00:11

本帖最后由天山草于 2016-11-10 15:18 编辑

写个小程序即可统计 1 的个数（程序自动计数的结果是共有 226 个 1）：
程序及运行结果，以及 2020 个数字相加结果见下面的图片：

天山草 · 发表于 2016-11-10 09:41

看看前 10、20、30、……、90 个数字相加的结果，就知道规律了：

王守恩 · 发表于 2016-11-10 10:14

a=1/10+2/100+3/1000+4/10000+5/100000+..............
楼主的题目与a不就是一道题吗？

天山草 · 发表于 2016-11-10 12:49

另一个直观的程序及运行结果：

天山草 · 发表于 2016-11-10 12:58

上面王守恩说得对，不过通分相加以后要去掉分母：

luyuanhong · 发表于 2016-11-10 18:38

谢谢楼上王守恩和天山草的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

elim · 发表于 2016-11-15 02:10

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在 1+11+111+…+111…111（2020 个 1）相加之和中，数字 1 共出现了几次？

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