圆的 n 等分点连线共点问题

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/12/06 00:36am 第 1 次编辑]

awei

[color=#0000FF]有些深奥，行列式我没有学过，但是我觉得它也没有这个问题难“消化”，神秘的几个数字都会出现在这个问题，e,π,i,我慢慢消化吧，谢谢老师！

ccmmjj

君子所见略同。我也做到最后一步，（只是我用实三角形式的行列式表示出来）考虑到n*pi/P的三角函数的线性无关的证明（尚未证出，可能涉及基础的实数理论），希望luyuanhong 老师继续努力，能证出来。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ccmmjj 在 时添加 -=-=-=-=-
luyuanhong老师 的文章我要转手一下，因为我在另一论坛做了类似的提问。

luyuanhong

下面引用由ccmmjj在 2010/12/07 10:30am 发表的内容：
君子所见略同。我也做到最后一步，（只是我用实三角形式的行列式表示出来）考虑到n*pi/P的三角函数的线性无关的证明（尚未证出，可能涉及基础的实数理论），希望luyuanhong 老师继续努力，能证出来。
-=-=-=-=- 　
luyuanhong老师 的文章我要转手一下，因为我在另一论坛做了类似的提问。

很高兴看到你与我有相同的想法。
欢迎你将我的帖子转到其他论坛上去，不过，还请告诉我是什么论坛，我也想去看看。

ccmmjj

是“新繁星客栈”。这个论坛有位朋友给出了以下结论：“将那个行列式展成关于z的多项式，当且仅当分圆多项式(z^p-1)/(z-1)整除该多项式时，三线共点；
而事实上(z-1)必整除该多项式，故只需说明展开的多项式不被(z^p-1)整除。
我算了一下，假设能被(z^p-1)整除，都会得到两点重合的结果（比如a=d）。
当n不为素数时，分圆多项式不取(x^n-1)/(x-1)的形式，故对一般的n有可能三条对角线相交。
不过似乎n为奇数时也不存在这样的交点。”
“我最早是在《蚁迹寻踪》里看到这个问题的，这是一本好书，推荐之，也有下载。
Update: 回去查《蚁迹寻踪》，以下结果是已知的：
“这种共点性在n为奇数的情况下不会出现，而且除了显然的情况外，它只是当n能被6整除时才出现。””

luyuanhong

下面引用由ccmmjj在 2010/12/08 04:51pm 发表的内容：
是“新繁星客栈”。这个论坛有位朋友给出了以下结论：“将那个行列式展成关于z的多项式，当且仅当分圆多项式(z^p-1)/(z-1)整除该多项式时，三线共点；
而事实上(z-1)必整除该多项式，故只需说明展开的多项式不被 ...

那位网友的说法很对。困难在于，怎样证明：当 n 是素数时，行列式不能被 z^n-1 整除。

elimqiu

基本立论的支持：

注：
三阶行列式的计算公式还是很容易掌握的。
需要了解行列式的一些基本性质。
需要了解线性方程组解与系数矩阵的初步关系
===== 以上都是为了理解这个共点的充要条件 =====
总可假定 z1 = 1, z2 的复角大于 2π/n

ccmmjj

《蚁迹寻踪》177页：有理角的构形，180页：一些后来的消息，307页：初等几何中的十九个问题。
另附五篇论文合集，想进一步了解可以参看.
可惜书传不上来（超过500K），只能传两篇短的。

elimqiu

ccmmjj兄，请把文章都寄给我。 想给你发 pm 不行。