[趣题分享]实数的另一种有趣表达方式

luyuanhong · 发表于 2010-12-10 12:41

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/12/15 02:46pm 第 5 次编辑]

这个问题确实很有趣，证明如下：

elimqiu · 发表于 2010-12-10 13:05

谢谢陆老师的详尽分析。这种表达的收敛快得惊人。

luyuanhong · 发表于 2010-12-11 10:16

看看一些无理数，用这种方式表达出来，是什么样子的：

elimqiu · 发表于 2010-12-11 10:39

真是有趣！

drc2000 · 发表于 2010-12-14 09:10

[这个贴子最后由drc2000在 2010/12/14 09:16am 第 2 次编辑]

的确很有趣!
在10进制中x=a1+a2/10+a3/100+a4/1000+...+an/(10^n)
楼主的问题,很象"混合"进制.

若分母n!改为n^n,
x是不是可以唯一表达成a1/1+a2/4+a3/27+a4/256+...+an/(n^n)的形式?
收敛性如何?

ccmmjj · 发表于 2010-12-14 10:13

好东西。不过我记得这是很早就有的结论。好在我们是在传播数学知识，不必担心版权之争。

luyuanhong · 发表于 2010-12-15 14:57

我忽然发现，楼主给出的这种实数的表达方式，其实并不能保证唯一性。
同一个实数，可以有两种表达方式，如：1/2！=2/3！+3/4！+4/5！+5/6！+……
类似于实数的十进制小数表示，会有两种不同的表示方法，如：1=0.99999999… 。
要保证表达方式的唯一性，还必须加上一些限制。

elimqiu · 发表于 2010-12-16 00:42

的确如此。即使是正有理数，如果没有有限表示的限制，也是可以表成无限形式。我们现在知道，能有不唯一表示的一定是有理数。这跟固定进制的实数表示完全一样。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在时添加 -=-=-=-=-
但是现在每个有理数都有有限表示，这跟通常进制的实数表达不同。

elimqiu · 发表于 2011-1-4 06:22

  姑且称实数的这种表达方式叫作 !-表达。
  试对每个正整数 n > 1，确定 ε(n) > 0 使得 |x - y| <  ε(n) 时
  x 和 y 的 !-表达的前 n 项对应相等。

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