求两个级数的通项公式及前 n 项和公式（小学奥数题）

天山草

（1）求 1，3，6，10，15，21，28，36，45，……的通项公式与前 n 项和公式。
（2）求 1/1，1/3，1/6，1/10，1/15，1/21，1/28，1/36，1/45，……的通项公式与前 n 项和公式。

ccmmjj

（1）通项 n(n+1)/2，前n项和n(n+1)(n+2)/6.
（2）通项 2/n(n+1)，前n项和2n/(n+1)

luyuanhong

（1）求 1，3，6，10，15，21，28，36，45，…… 的通项公式与前 n 项和公式。

解  因为 1=1 ，3=1+2 ，6=1+2+3 ，10=1+2+3+4 ，…… ，所以通项公式为

    an = 1+2+3+…+n = n(n+1)/2 。

    前 n 项和的公式为

    1 + 3 + 6 + … + n(n+1)/2

  = 1×2/2 + 2×3/2 + 3×4/2 + … + n(n+1)/2

  = 1×2×(3-0)/(2×3) + 2×3×(4-1)/(2×3) + 3×4×(5-2)/(2×3) + … + n(n+1)×[(n+2)-(n-1)]/(2×3)

  =(1×2×3-0×1×2)/6 + (2×3×4-1×2×3)/6 + (3×4×5-2×3×4)/6+ … + [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/6

  = n(n+1)(n+2)/6 。

（2）求 1/1，1/3，1/6，1/10，1/15，1/21，1/28，1/36，1/45，……的通项公式与前 n 项和公式。

解  通项公式为 bn = 1/an = 2/[n(n+1)] 。

    前 n 项和的公式为

    1/1 + 1/3 + 1/6 + … + 2/[n(n+1)]

  = 2/(1×2) + 2/(2×3) + 2/(3×4) + … + 2/[n(n+1)]

  = 2×(2-1)/(1×2) + 2×(3-2)/(2×3) + 2×(4-3)/(3×4) + … + 2×[(n+1)-n]/[n(n+1)]

  = 2×(1/1-1/2) + 2×(1/2-1/3) + 2×(1/3-1/4) + … + 2×[1/n-1/(n+1)]

  = 2×[1-1/(n+1)] = 2n/(n+1) 。

中国上海市

调和级数能求前n项和吗

王守恩

中国上海市 发表于 2016-11-17 19:45
调和级数能求前n项和吗

第2题：我给出2种与众不同的解法。

1，依次相加，找规律。
1/1，4/3，9/6，16/10，25/15，36/21，49/28，64/36，81/45，100/55，....................
规律是：分母不变，分子是平方数。

2，原式=2*【1/2-1/2+2/3-2/3+3/4-3/4+4/5-4/5+5/6-5/6+7/8-7/8+8/9-8/9+9/10.........
最后得数是：最后一个数*2即可。

请有心人站在小学生的角度，体会上面解法的苦衷。

王守恩

王守恩 发表于 2016-11-17 21:20
第2题：我给出2种与众不同的解法。

1，依次相加，找规律。

第一题求和：在众多小学生解法里，我挑了两种出来，请大家品尝。

解法一：以点带面，找规律。
把n,an,sn先填好。（an，sn每个数都是左加上）。
（1）从点开始，找一找规律：
（2）因为点的规律，每隔3个数，自然会联想到分母是3：
（3）验算一下。

解法二：分解质因数，找规律。（an，sn每个数都是左加上）。
（1）分解质因数：
（2）找一找规律：
（3）大胆的联想：
（4）再找些数来验算。

题外话：
1、整个过程肯定比上面书写的要长，因为我们不知道规律在哪里。找不到规律就只能继续往下写。
2、我是与小学生们一起打滚摸爬过来的，关键的一点，是我们要向小学生们灌输这样一种豪气：我们是在享受数学！享受过程！规律就在前面，我们一定会找到！我们一定能找到！
3、对课外教育持异议的同行们说一句：理解万岁！

王守恩

上面的解法是针对无知的小学生来说的。
对我们大人来说看看下表，不就是同一道题吗！
请你想一想，根据下表还应该想出什么来？

天山草

高思的奥数书上，有这两道题的解答。
一般的小朋友，能看懂第一道的做法就很不错了，让他们独立导出前 n 项和的公式，很难。
第二道题比较简单，裂项相加，这个都会。

王守恩

蔡家雄 发表于 2016-11-23 18:07
对中学生来说：无穷项求和该如何证明？
1/1+1/3+1/6+1/10+1/15+...+1/[n(n+1)/2]=2

从小学生的解法中找和的通项
1，依次相加，找规律。
1/1，4/3，9/6，16/10，25/15，36/21，49/28，64/36，81/45，100/55，....................
和的通项是：分母不变，分子是平方数。
即：n^2/(n(n+1)/2)=2*n^2/(n(n+1))=2*1=2

2，原式=2*【1/2-1/2+2/3-2/3+3/4-3/4+4/5-4/5+5/6-5/6+7/8-7/8+8/9-8/9+9/10.........
和的通项是：最后一个数*2即可。
即：2*n/(n+1)=2*1=2