逆元法分析不定方程正整数解的组数问题

白新岭

大家对歌猜非常感兴趣。数学大师说用初等方法不能解决。而歌迷中拥有大学以上学历的又不多。按数学大师的说法，像我这样的高中学历就不可能有所作为了。不过我并不认可那种说法。不服气，就得拿出一点像样的结论来反驳这种说法。没有像样的结论，就只能认了。
话说回来，研究一个数学问题，解决数学问题，就得先找到解决问题方法和数学根据，依据。没有解决问题的方法，数学工具，就谈不上解决问题。
定理1：不定方程x+y+z+......+u=n的非负整数解的组数为C(n+m-1,m-1),m为不定方程的未知数的个数。C(n+m-1,m-1)表示从n+m-1中抽出m-1个数的组合数。
现在求x+y=n在限制条件下的正整数解的组数，第一种限制条件：x，y不被2，3，5整除；第二种限制条件：x，y至少能被2，3，5其中之一整除。
在自然数中，不被2，3，5整除的有8类代数式，30k+1，30k+7，30k+11，30k+13，30k+17，30k+19，30k+23，30k+29。用这8类余数做2维加法运算，每个算式都含有30k，提出30后，相当于自然数k的加法运算（这里k可以取0），k的2维加法运算与模MOD（30k+i,30)=i的2维加法运算是分步关系。下边是i的2维加法合成分布结果：
MOD(n,30)→1→7→11→13→17→19→23→29
1→→→2→8→12→14→18→20→24→30
7→→→8→14→18→20→24→26→30→36
11→→→12→18→22→24→28→30→34→40
13→→→14→20→24→26→30→32→36→42
17→→→18→24→28→30→34→36→40→46
19→→→20→26→30→32→36→38→42→48
23→→→24→30→34→36→40→42→46→52
29→→→30→36→40→42→46→48→52→58
头一行和第一列是不被2，3，5整除的模30的余数，其余部分是余数相加的结果。下边是统计结果：
余数→合成方法
2→1
4→0
6→0
8→2
10→0
12→2
14→3
16→0
18→4
20→4
22→1
24→6
26→3
28→2
30→8
32→2
34→3
36→6
38→1
40→4
42→4
44→0
46→3
48→2
50→0
52→2
54→0
56→0
58→1

白新岭

接上楼，合成方法表示用两个余数i的和的方法，例如24对应照6，6说明用余数1，7，11，13，17，19，23，29这8类余数中的两个余数的和为24的方法有6种，其它的和与同行的合成方法的意思与余数（和）24和合成方法6的对应关系相同。通过分布情况可以得到精确计算公式：
余数→一周方法→二周方法→总方法
2→→1→→→→2→→→→3
4→→0→→→→3→→→→3
6→→0→→→→6→→→→6
8→→2→→→→1→→→→3
10→→0→→→→4→→→→4
12→→2→→→→4→→→→6
14→→3→→→→0→→→→3
16→→0→→→→3→→→→3
18→→4→→→→2→→→→6
20→→4→→→→0→→→→4
22→→1→→→→2→→→→3
24→→6→→→→0→→→→6
26→→3→→→→0→→→→3
28→→2→→→→1→→→→3
30→→8→→→→0→→→→8
二周方法是把和去掉30后的数所对应的方法。总方法是指1周和2周的合成方法的和。
在第一周内的方法直接*C(t+2-1,2-1)就是合成方法数（不定方程符合条件的正整数解的组数），而第二周的合成法就不能乘它了，要从t中去掉一个1，相当于拿出了一个30，把30与其30内的余数和相加就得到第二周的值。所以第二周的方法=第二周的合成法*C(t-1+2-1,2-1).这里的t=INT((n-1)/30),即去掉1个后相对于模30的周期值。
下面是求解公式：
余数和→一周方法→二周方法→t前系数a→常数b
2→→1→→→→2→→→→3→→→→2
4→→0→→→→3→→→→3→→→→0
6→→0→→→→6→→→→6→→→→0
8→→2→→→→1→→→→3→→→→4
10→→0→→→→4→→→→4→→→→0
12→→2→→→→4→→→→6→→→→4
14→→3→→→→0→→→→3→→→→6
16→→0→→→→3→→→→3→→→→0
18→→4→→→→2→→→→6→→→→8
20→→4→→→→0→→→→4→→→→8
22→→1→→→→2→→→→3→→→→2
24→→6→→→→0→→→→6→→→→12
26→→3→→→→0→→→→3→→→→6
28→→2→→→→1→→→→3→→→→4
30→→8→→→→0→→→→8→→→→16
求出t后带入公式at+b/2即得到答案。

白新岭

第一种限制条件与第二种限制条件之间有没有相互关系呢？
有。
第一种有8类余数，而30把自然数可以分成30类，其余（30-8）22类余数都符合第二种条件。从这里可以看到它们的定义域互为补集。总合成方法有没有联系，有。
用全集I,正集A（不被2，3，5整除的30内的自然数为正集，I-A=B,B称为逆集（相对正集A来说）。(I-A)^2=I^2-2IA+A^2=I*(I-2*A)+A^2,这里I=30,A=8，所以平均最少分布为I*(I-2*A)/I=I-2A=30-2*8=14，即和为奇数的总合成方法是14种，那其余8*8=64种合成方法是怎样分布到偶数上去的，是按正集的分布值对应的分配上去的，有最少合成方法+正集的分布值就是第二种情况下的合成方法数。
这样的理论能不能分析多元的情况？能。
全集I，正集A，三维合成时，（I-A）^3=I^3-3I^2A+3IA^2-A^3=I*(I^2-3AI+3A^2)-A^3,把I=30,A=8带入进去，得到最多的合成方法为I*(I^2-3AI+3A^2)/I=I^2-3AI+3A^2=30^2-3*8*30+3*8^2=372,最多有372种合成方法（对于每类偶数都是此值），奇数的合成方法如何去掉的呢？是按照正集的分布情况对应的去掉的。

白新岭

单条件周期是☞每个条件P，主楼的例子中，2，3，5都是周期。单条件的总合成方法数=(Pj-1)^m,即周期去掉一类数后的m次方，m的含义与主楼相同，是不定方程未知数的个数。合成新数的合成方法指用m个余数使其和为新数的方法，单调节系数=周期Pj*得到某新数的合成方法数/（Pj-1）^m.
现在定义新数的合成方法为：
分两种情况，一种是m为偶数情况，单条件总方法为(P-1)^m=P*几个多项式的和+1，即有一种合成法不能均分下去，这多出的一种合成法落到了新数P上，即在新合成数中能整除的数多一种合成方法。
另一种情况是m为奇数，单条件总方法为(P-1)^m=P*几个多项式的和-1，即少一种合成法不能均分下去，这缺的一种合成法落到了新数P上，即在新合成数中能整除的数少一种合成方法。所以单条件下的调节系数=P*{[(P-1)^(2m)-1]/P}/(P-1)^(2m)=[(P-1)^(2m)-1]/(P-1)^(2m)=1-1/(P-1)^(2m),这是单条件下，未知数的个数为偶数情况下，不能被P整除的自然数类的调节系数；在这种情况下，能整除P的自然数类的调节系数=P*{[(P-1)^(2m)-1]/P+1}/(P-1)^(2m)=[(P-1)^(2m)-1+P]/(P-1)^(2m)=1+1/(P-1)^(2m-1)；前边的情况下，是1去掉1/（P-1）^(2m),分母的次数与未知数的个数相同，而后边的单条件系数是1加上1/（P-1）^(2m-1),分母的次数比未知数的个数少1次。
当是奇数时（指未知数的个数），不能整除P的新数的调节系数=P*{[(P-1)^(2m+1)+1]/P}/(P-1)^(2m+1)=[(P-1)^(2m+1)+1]/(P-1)^(2m)=1+1/(P-1)^(2m+1)，能整除P的新数的调节系数=P*{[(P-1)^(2m+1)+1]/P-1}/(P-1)^(2m+1)=[(P-1)^(2m+1)+1-P]/(P-1)^(2m+1)=1-1/(P-1)^(2m)。
综上所述：综合调节系数=∏[1-1/(Pj-1)^m]∏[1+1/(Pk-1)^(m-1)],2│m,Pj不整除n，Pk│n.

白新岭

综合调节系数=∏[1+1/(Pj-1)^m]∏[1-1/(Pk-1)^(m-1)],2不整除m,Pj不整除n，Pk│n，无论m为偶数还是奇数，其调节系数连乘积式中都是后者，去掉或者加上的都是第一次的值（分母中的次数）；而不能整除n的Pj都是前者，且次数相同，偶数是去1/(P-1)^m,奇数是加1/(P-1)^m，所以m的奇偶性只改变和式1后边的符号。这综合调节系数就是我签名中的系数。在签名中有一个阶乘做了分母，那是主楼的定理1中的式子在起作用C(n+m-1,m-1)=(n+m-1)*(n+m-2)*....*[n+m-1-(m-1)+1]/(m-1)!,这里除了（m-1）!这个值，所以签名公式中有这个除数。