“费驴”素数

moranhuishou

[color=#A52A2A]
费马数
费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式： 其中 n 为非负整数。若 2n + 1 是素数，可以得到 n 必须是2的幂。（若 n = ab，其中 1 < a, b < n 且 b 为奇数，则 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (&#8722;1)b + 1 ≡ 0 (mod 2a + 1)。）也就是说，所有具有形式 2n + 1 的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有 F0 至 F4 五个。
费驴数
这里的“费驴数”，是指这样的素数与费马数有着相同的形式（因为暂时想不到合适的名字故名：））的素数，即形如
L=10^（2^k）+1
之素数。
我们有
10^(2^0)+1=11
10^(2^1)+1=101
目前仅有此两例。
和费马 数相同，只有当
L=10^m+1
中的m为2^k时这样形式的数才可能为素数。
证明
当m为奇数时，有  11|L  （证略）
当m=2*N(N>1为奇数)时，有(10^2+1)|L  (证略)
...
当m=2^r*N(N>1为奇数)时，有[10^(2^r)+1]|L  (证略)
...
所以，只有当m=2^k时，L=10^m+1 才可能为素数。
   

熊一兵

《概率素数论》可证明它们都仅有限个，而且除前几个外出现概率逼近零

moranhuishou

下面引用由熊一兵在 2010/12/27 10:11pm 发表的内容：
《概率素数论》可证明它们都仅有限个，而且除前几个外出现概率逼近零

这话是不严格的，因为所有的自然数为素数的概率都逼近（趋于）零。
因为 ln x趋于无穷大。
只能说这类数为素数的概率趋于零的速度要比其他类的数字要快的多。
但这并不能证明这类素数就都是有限个，只能算是一个猜想。

尚九天

老头散步归来，
先到网上看看。
来了的都是才子，
没来的都是白菜。

〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓
七碗受至味，
一壶得真趣。
空持百千偈，
不如吃茶去。
            ---- 赵朴初

熊一兵

下面引用由moranhuishou在 2010/12/28 09:18am 发表的内容：
这话是不严格的，因为所有的自然数为素数的概率都逼近（趋于）零。
因为 ln x趋于无穷大。
只能说这类数为素数的概率趋于零的速度要比其他类的数字要快的多。
但这并不能证明这类素数就都是有限个，只能算是一个猜想。

既然说是证明，当然不是猜想

moranhuishou

那给熊先生出个题目玩玩：
形如
R（n）=  6^n+1  (n=1,2,3...)
之素数个数几何？
我们有 n=1,2,4时
R（1）= 7
R（2）=37  
R（4）= 1297  
均为素数。

熊一兵

定理 形如R（n）=  6^n+1  (n=1,2,3...)的素数个数正比于ln n
见《概率素数论》指数函数的素数个数

moranhuishou

具体点，就是这一种形式的，比如说n=100时是多少？

熊一兵

下面引用由moranhuishou在 2010/12/30 09:16am 发表的内容：
具体点，就是这一种形式的，比如说n=100时是多少？

这是《概率素数论》达到的最具体结果了：
定理 形如R（n）=  6^n+1  (n=1,2,3...)的素数个数正比于ln n
这个理论太需要提高了