请陆教授用简单的例子介绍一下Lebesgue积分？

qingjiao

在一些资料上看到这个积分，据说是20世纪微积分的最大成就，比传统的黎曼积分有很多优越性，而且数学专业的学生是必学的。但我不是数学专业的，不知道这个积分是怎么回事，请陆教授简单介绍一下？

qingjiao

我看资料的印象好像是传统的黎曼积分是对横坐标分割，而Lebesgue积分是对纵坐标分割？

ygq的马甲

简单介绍一下？
就是黎曼积分的推广
黎曼积分能做的，Lebesgue积分做的是一样的
黎曼积分不能做的，有些，Lebesgue积分也能做

ygq的马甲

下面引用由wangyangkee在 2011/01/13 07:53am 发表的内容：
俞根强三天没有闹蠢货，单位论面临发展机遇，，，，

【鉴定】和【评估】结论是：“无知者无畏”式的“蠢货”（wangyangkee）
“蠢货”（wangyangkee）们，之所心“蠢”，是因为“追”逐“蠢货”（申一言），并不懂【近朱者赤、近墨者黑】的道理
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

因为一位默默无闻之人的反对，就会出现【无法发展】，这种东西太弱了吧

wangyangkee

俞根强三天没有闹蠢货，单位论面临发展机遇，，，，

wanwna

[这个贴子最后由wanwna在 2011/01/13 09:11am 第 1 次编辑]

先去理解一下测度的概念
可测与不可测

luyuanhong

下面引用由qingjiao在 2011/01/13 00:29am 发表的内容：
在一些资料上看到这个积分，据说是20世纪微积分的最大成就，比传统的黎曼积分有很多优越性，而且数学专业的学生是必学的。但我不是数学专业的，不知道这个积分是怎么回事，请陆教授简单介绍一下？

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/01/13 05:33pm 第 1 次编辑]


陆教授辛苦了！请看我的理解是否正确：
如图，设一函数的图像如蓝实线，蓝虚线是跳跃间断点。划分的一个区间是[y1,y2]，其对应的横坐标是x1,x2,x3,x4,x5。
则该区间的测度：μ(E)=(x2-x1)+(x5-x3)
该区间上限面积：Smax=y2*μ(E)=y2*[(x2-x1)+(x5-x3)]
该区间下限面积：Smin=y1*μ(E)=y1*[(x2-x1)+(x5-x3)]
另外全体有理数的测度和，也就是所占数轴的长度和为0？全体无理数的长度=整个数轴的长度？这是人为规定的还是有逻辑依据？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/01/13 08:10pm 第 1 次编辑]

下面引用由qingjiao在 2011/01/13 05:32pm 发表的内容：
陆教授辛苦了！请看我的理解是否正确：
如图，设一函数的图像如蓝实线，蓝虚线是跳跃间断点。划分的一个区间是，其对应的横坐标是x1,x2,x3,x4,x5。
则该区间的测度：μ(E)=(x2-x1)+(x5-x3)
该区间上限面积：Smax=y2*μ(E)=y2*[(x2-x1)+(x5-x3)]
该区间下限面积：Smin=y1*μ(E)=y1*[(x2-x1)+(x5-x3)]
另外全体有理数的测度和，也就是所占数轴的长度和为0？全体无理数的长度=整个数轴的长度？这是人为规定的还是有逻辑依据？

你的理解非常正确，很好！
关于有理数的测度为 0 的问题，在测度论中，我们可以证明这样一个定理：
凡是由有限个点或可列个点组成的集合，它的测度必定等于 0 。
由于［0,1］中有理数点的个数是可列个，所以［0,1］中全体有理数集合的测度为 0 。
［0,1］中除了有理数点外，都是无理数，所以［0,1］中全体无理数集合的测度为 1-0=1 。