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质疑第一次数学危机的真相

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发表于 2017-1-1 12:54 | 显示全部楼层 |阅读模式
质疑第一次数学危机的真相
杨六省
(陕西省长安师范学校 710100)
摘要:目的 澄清第一次数学危机的真相。方法 揭示Pythagoras派关于√2不是有理数证明的无效性。结果 在推理前提——√2 =α:β(α,β互质)中,写入 “α,β互质”是不合理的,因为不相关,尤其是,它使得√2不是有理数的证明变为不可能。结论 第一次数学危机的真相是:第一对不可公度量的发现,并不是基于对√2不是有理数的有效证明,而是基于无效证明。
关键词:第一次数学危机;有理数;无穷;相容性;排中律;有效推理
中图分类号:0143

Question On the Truth of the First Mathematical Crisis
YANg Liusheng
(Shaanxi Chang’an Normal School, Xi’an China, 710100)
Abstract: purpose: Clarify the truth of the first mathematical crisis.  Method: reveal the unavailability of Pythagoras school’s proof on whether √2 is a rationalnumber.  Result: in the inferencepremise√2=α:β(α and β are relativelyprime), the saying “α and β are relativelyprime” is unreasonable due to the uncorrelation, particularly, it makes the proof “√2 is not a rationalnumber” to be impossible.  Conclusion: The truth of the first mathematical crisis is that the discovery of the first pair incommensurablequantities is not an effectiveproof based on “√2 is not a rationalnumber”, but on the invalidproof.
Keywords:The first mathematical crisis;history of mathematics; rational number; infinity; consistency; law of excluded middle; effective inference
2010 MSC: 03F03

0 引言
√2与1不能公度的证明是Pythagoras派给出的。这个证明和现今对√2为无理数的证明相同。它们的推理前提都是——假设√2 =α:β((α,β互质),且都认可由假设前提可推出α为偶数之结论。但此结论如果导致矛盾呢,证明还有效吗?这就产生一个问题:第一次数学危机的真相是什么?也就是,第一对不可公度量的发现,是基于对√2不是有理数的有效证明呢?还是无效证明?这是应当澄清的。
1 讨论
1.1 毕达哥拉斯派的证明
    设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为α:β,并设这个比已表达成最小整数之比。于是根据Pythagoras定理得α2=2β2。由于α2为偶数,α必然也是偶数,因任一奇数的平方必是奇数。但比α:β是既约的,因此β必然是奇数。α既是偶数,故可设α=2γ。于是α2=4γ2=2β2。因此β2=2γ2,这样β2是个偶数。于是β也是偶数。但β同时又是奇数,这就产生了矛盾。[1]
1.2 后世公认的证明
下面采用北师大版教材(八年级上册)的证明。
假设边长为1的正方形的对角线的长可写成两个整数α,β的比α/β(α,β互质),于是有(α/β)2 = 2,α2 =2β2.
因此,α2是偶数,α是偶数.
于是可设α =2γ,那么α2 =4γ2 =2β2, β2=2γ2.
这就是说,β2是偶数,β也是偶数.这与“α,β是互质的两个整数”的假设矛盾. [2]
作者评析:现在众所周知——√2不是有理数,是无理数;√2是无穷不循环小数。因此,关于√2,为了应用反证法,试图推出的矛盾应该是有理数系统与无理数系统之间的矛盾,应该是与无穷相关的矛盾。据此笔者质疑,试图通过推出整数系统内的某种矛盾(注:只与互质概念有关)来证明√2不是有理数,是否合理,是否有效?
在Pythagoras派的证明中,依次推出了α是偶数、β是奇数、β是偶数,因后两项矛盾,又否定了第二项,从而推出了α和β都是偶数,于是,又否定了“α,β互质”这个假设,即α,β不互质。但笔者的质疑是,为什么偏偏从“α必是偶数”推出“β也是偶数”之后,就此停止?而不是将“α是偶数,从而β也是偶数”这一推理模式无穷地继续下去呢?难道“停止”是合理的,而“无穷继续”就是不合理的吗?事实上,情况恰恰相反。“无穷继续”的做法是合理的,它能够“推出”前提条件“α,β均为整数”的否定(参见下文“本文作者的证明”),而“停止”的做法则不然。这是因为,当推出了α,β不互质时,人们有理由提问:α,β的最大公约数是什么呢?是2吗?不对,因为“α是偶数,从而β也是偶数”这一推理模式有理由无穷地继续下去;是2的无穷次方吗?也不是,因为它不是一个确定的整数。这就是说,提问是合理的,但答案是不存在的。这种新的矛盾,又会否决“α,β不互质”这一结论,因此,到头来,什么也没有证明,什么也证明不了。那么,为什么会出现提问合理而问题又无解的现象呢?唯一合理的解释是,在推理前提中写入“α,β互质”是不合理的,因为它与我们讨论的问题不相干(注:√2是有理数还是无理数的矛盾,表现为它能否表为两个整数之比,或者说,√2=α:β中的α和β能否全是整数;但两个整数是否互质的矛盾,表现为这两个整数是否存在不等于1的公约数)。
在推理前提中写入“α,β互质”这一条款,不仅没有意义,更糟的是,它使得√2不是有理数的证明变为不可能,换一种说法,这种证明的无效性已是不可避免的。理由是,一旦把有理数与无理数之间的矛盾转化为(当然这种转化是无效的)整数系内部的的矛盾(它只与互质概念有关,已无需再涉及α和β是否全是整数的问题了),这其后的推理,也只能像Pythagoras派所做的那样——如前所述,它是无效的。   
综上所述,我们说,Pythagoras派关于√2不是有理数的证明是无效的。
历史让人感慨,Pythagoras派只是缺少了一个提问,否则,发现行不通,换个思路,历史就会被改写。
如果说,Pythagoras派“第一次”证明√2不是有理数时,由于尚不确定√2到底能不能表为整数之比,只是想应用归谬法进行试探的话,那么,在假设条件中列入α与β互质这一条款,倒是可以理解的(注:但其给出的证明不可能是有效的)。但是,当后世已经明确知道√2不能表为整数之比后,就应该及时地删除这个假设条件(因为既然√2 =α:β中的α、β不可能全是整数,那么,它们之间也就不存在是否互质的问题),并修订原证明。基于上述理由,笔者认为,既然要用归谬法来证明论题——√2不能表为整数之比,那就直接从论题的否定(√2能表为整数之比)开始即可,何须借助于,事实上也不可能借助于与论题没有内在关联的概念(整数的奇偶性以及互质概念)达到证明的目的。
笔者认为,自Pythagoras派第一次“证明了”√2不是有理数直至今天,两千五百多年过去了,α与β互质这一不合理的假设条款还一直被保留着,是令人惊讶的。
1.3 本文作者的证明
设√2 =α:β(α,β均为整数),则2=α2:β2,从而α2=2β2。当β为整数时,2β2 是偶数。下面我们讨论α的情况。
①α能是奇数吗?
因任一奇数的平方必是奇数,它不可能等于偶数2β2,故α不可能是奇数。
②α能是偶数吗?
由①知,α不可能是奇数;因假设α为整数,依据排中律可知,α必是偶数。设α=2γ(γ为整数),代入α2 = 2β2,得 2γ2 =β2。如果上述由α2 = 2β2 (β为整数)得到α必为偶数的推理是有效的,那么,这里也应该由2γ2 =β2(γ为整数)推出β为偶数;… 这样就会推出α以及β有无穷多个因数2,从而说明α和β均不可能是整数,但这与α,β均为整数的假设矛盾,说明由α2 = 2β2 (β为整数)是推不出α是偶数的。结论是,α不可能是偶数。
①的结论是α不可能是奇数,②的结论是α不可能是偶数,故α不是整数。
综上所述,结论是α与β不全为整数。由前提“α,β均为整数”推出了它的否定,这说明假设条件“α,β均为整数”不成立,也即√2不能表为整数之比。
作者评析:说实在的,在上面的论证中,从一开始的“设√2 =α:β(α,β均为整数)”,直到“综上所述,结论是α与β不全为整数”,其实不是有效推理。为什么呢?那我们就来看看,究竟什么是有效推理的概念呢?
文[3]写道:“一个有效的推理,其前提真而结论假是不可能的。”那么,前提不真呢?(注:这里的“不真”,不只包含“假”,还包含无法谈论前提的真假,例如,说谎者语句等。)文[3]同处又写道:有效推理是指“前提蕴涵着结论的推理”。那么,“蕴涵”又是什么意思呢?《哥德尔证明》一书作者的话很是到位,他说:“事实上,数学推演的有效性,并不依赖于前提之中词汇的含义或表达式的意思。……纯数学家所面临的问题,不是所假定的前提或从这些前提演绎出的结论是否为真,而是这些结论在事实上是否为初始前提的必然逻辑结果。”[4] 以上引述表明,有效推理的概念与前提的真假无关。
无论A是什么,也不管其真值情况如何, A不可能蕴涵¬ A 。所以,任何由A 到¬ A的推理,都不可能是有效推理。我们的推理前提是√2 =α:β(α,β均为整数),最后的结论是前提条件的否定——α与β不全为整数,所以,这样的推理不是有效推理。这是由什么原因引起的呢?
很容易理解,我们在上面的推理过程中,应用了“α,β均为整数”这一假设条件。但事实上,还应用了另一个条件呢,只是比较隐蔽罢了。
不妨把等式√2 =α:β变成α=√2β,依据人们现在的知识(注:已明确知道,√2是无理数),马上就清楚了——当β是整数时,α是无理数,不是整数。这就是说,假设的推理前提——“√2 =α:β(α,β均为整数)”,其本身就蕴涵着不相容的两个条件,即“α,β均为整数”及其否定——前者是以假设的形式,后者是以真实存在的形式,同时发挥着效力(注:人们往往会忽视后者,甚至想不到它)。
保持相容性,是有效推理的必要条件。[5]但基于推理前提本身就蕴涵着不相容的两个条件,所以,人们在推理中,实际上是既应用条件“α,β均为整数”,又应用它的否定(即β为整数,但α是无理数),这显然是违反有效推理必要条件的,这样的推理,不可能是有效推理。
但对问题的审查应该分段看待。由“α,β均为整数”推出了它的否定,这部分推理不是有效推理。但是,当我们找到了导致非有效推理的原因,即在推理过程中应用了不相容的条件——一方面是假设的条件,即α,β均为整数;另一方面是客观存在的条件,即α,β不可能均为整数,并且否定了假设条件而保留了客观存在的条件,从而就又保证了相容性的贯彻和恢复,这样的推理,就是有效推理。因此,本文作者关于√2不是有理数所给出的证明,是有效证明。
还能不能把问题说的更具体些呢?即在证明过程中,究竟是从何时何处开始出现了不相容条件的冲突呢?我们说,假设的是√2可表成两整数α与β之比,但实际上并非如此。因此,对于α2=2β2(β为整数),当你(关于α)说出“因任一奇数的平方必是奇数”这一理由时,你已经(潜在地)犯错了(注:这里不是指具体结论,因为具体结论没有错),因为你已把无理数α当整数对待了,但实际上它不是(注:理解这种冲突,是破解问题的关键所在,因为保证相容性的贯彻是有效推理的必要条件,相反,正是此处冲突的发生,使得Pythagoras派的证明成为非有效的,当然也包括笔者证明的前半部分);接下来依据排中律作出“不是奇数就是偶数”的推理,是无意义的,因为只有当α是整数时,这样的推理才有效。需要提醒的是,不要以为排中律具有绝对的普适性,可以随便使用。 不妨再举一个性质完全相同但情况要简单得多的例子。古希腊有一个著名的提问:“有人问梅内德谟,他是否已经停止打他的父亲了?”[6] 在梅内德谟从未有过打父亲的情况下,不管梅内德谟回答“是”或“否”,都会落入圈套。
在Pythagoras派和笔者的证明中,表面上看,都有由α2=2β2(β为整数)到α为偶数的推理,但在对其的处理上是有原则区别的。笔者在证明中所采用的表述语气是——“如果上述由α2 = 2β2 (β为整数)得到α为偶数的推理是有效的”,这已经暗示了笔者对此推理尚持保留意见,即笔者并不认可它是一个确定性的结论,从而为后面否决它埋下伏笔。但Pythagoras派呢?却把它当成一个确定性的结论来对待(始终没有出现对它的否决),并借助于这个无效的推理结论,错误的(当然也是无效的)把两个数系之间的矛盾问题(即√2能否表为整数之比,或者说,√2=α:β中的α和β能否全是整数)转化为整数系内部的矛盾问题(互质与不互质),从而也就失去了对这个无效推理进行否决的机会(因为矛盾的转化工作已经完成,将“α是偶数,从而β也是偶数”这一推理模式无穷继续下去的做法,已经不再必要,因而也就不可能会发现,由α2=2β2(β为整数)到α为偶数的推理竟然还会导致矛盾,所以应该否决它)。尽管Pythagoras派对其前提条件“α,β互质”进行了否定,但由于互质概念对于并非全是整数的α,β而言,完全是不相干的,所以,这种否定没有意义,说明不了什么。
1.4 陶哲轩(Terence Tao)教授的证明
需要说明的是,本文的结论,并不是指所有文献中的证明都有“α,β互质”这种不合理的假设条件,例如,美国数学家陶哲轩教授书中的证明就没有。当然,他的证明用到了“无限减少原理”,这是中学教科书中没有的知识。另外,“整数的唯一分解定理”的知识,也是中学教科书中没有的,所以,笔者只说“一个整数含有无穷个因数2,这是不可能的”,学生也就明白了,这并不影响证明的严格性。
笔者并不认同陶哲轩教授的证明是严谨完整的。他的证明大意是:假设有正整数α,β,使得(α/β)2 = 2,于是有α2 =2β2。如果α是奇数,那么,α2也是奇数,这与α2 = 2β2 (β为正整数)矛盾,故α是偶数;设α=2γ(γ为正整数),代入α2 = 2β2,得 2γ2 =β2,与上同理,可得β为偶数;… 可以证明,α>β>γ>… ,但这与无限减小原理矛盾,表明不存在正整数α,β,使得(α/β)2 = 2。[7]
作者评析:“α>β>γ>…”与无限减小原理发生冲突,原因是什么呢?是一开始假设的α,β都是正整数吗?否。很明显,直接的原因是,人们认可由α2 = 2β2 (β为正整数)得到α是偶数的推理是有效的,于是无限次地应用该模式进行推理,从而才出现了上面那个无穷递减过程,导致与无限减小原理相冲突。因此,基于“α>β>γ>…”与无限减小原理发生的冲突,应该否定的是“由α2 = 2β2 (β为正整数)得到α是偶数”之推理的有效性,而不是越过正在讨论的α能否是偶数这个中间环节,直接去否定一开始假设的α,β都是正整数。事实上,陶哲轩教授直接否定推理前提中α和β都是正整数的做法,会产生如下疑问:关于由α2 = 2β2 (β为整数)推出α是偶数这件事,我们很难知道陶哲轩教授的看法是什么,是认可呢,还是否定?也无法知道,关于导致“α>β>γ>…”与无限减小原理发生冲突的原因,陶哲轩教授是认为由于“由α2 = 2β2 (β为正整数)得到α是偶数”的推理是无效的呢?还是认为一开始假设的“α,β都是正整数”是错误的?但无论哪种情况,都应该有后续的文字说明:若是前者,就应交代逻辑关系;若是后者,就应写明理由,但这种合理的期待却没能看到结果,这不能不说是陶哲轩教授的证明在逻辑的严谨性上是有缺陷的。
2 结论
第一次数学危机的真相是:第一对不可公度量的发现,并不是基于对√2不是有理数的有效证明,而是基于无效证明。

参考文献:   
[1][美]M.克莱因.古今数学思想[M] ,第1卷.张理京,张锦炎.上海:上海科学技术出版社,1979年第1版,第37-38页.
[2]马复 主编.义务教育教科书数学(八年级上册)[M].北京:北京师范大学出版社,2014年第2版,第24页.
[3] 彭漪涟,马钦荣主编.逻辑学大辞典 [M].上海:上海辞书出版社,2004:第340页.
[4][美]欧内斯特.内格尔,詹姆士.R.纽曼.哥德尔证明[M].陈东威,连永君,译.北京,中国人民大学出版社,2008年第1版,第9页.
[5] 杨六省.对哥德尔不完全性定理的质疑[J].前沿科学,2014(1):第80-89页.
[6][德]黑格尔.哲学史讲演录(第二卷)[M].贺麟,王太庆,译.北京:商务印书馆,1960年新1版:第122页.
[7][澳]陶哲轩.陶哲轩实分析[M].王昆扬,译.北京:人民邮电出版社,2008年第1版,第73页.


发表于 2017-1-1 20:04 | 显示全部楼层
√2是无穷不循环小数吗?为什么?无穷是什么意思?无穷小数又是什么?
 楼主| 发表于 2017-1-1 20:28 | 显示全部楼层
jzkyllcjl 发表于 2017-1-1 20:04
√2是无穷不循环小数吗?为什么?无穷是什么意思?无穷小数又是什么?

复习一下初中知识,或者看有没有成人初中班,再上一遍。
 楼主| 发表于 2017-1-1 20:28 | 显示全部楼层
jzkyllcjl 发表于 2017-1-1 20:04
√2是无穷不循环小数吗?为什么?无穷是什么意思?无穷小数又是什么?

复习一下初中知识,或者看有没有成人初中班,再上一遍。
 楼主| 发表于 2017-1-1 20:30 | 显示全部楼层
yangls728 发表于 2017-1-1 20:28
复习一下初中知识,或者看有没有成人初中班,再上一遍。

复习一下初中知识,或者看有没有成人初中班,再上一遍。
发表于 2017-1-1 20:32 | 显示全部楼层
jzkyllcjl 的书里有他这些问题的回答.是否认错了,要找更离谱的回答?
发表于 2017-1-1 20:34 | 显示全部楼层
阁下完全不董数学基本概念:如果你指望中国的官科数学那么你将成脑残
发表于 2017-1-1 20:43 | 显示全部楼层
在党的领导下的官科数学是脑残.那党的领导是什么?
发表于 2017-1-1 21:01 | 显示全部楼层
教科书错误百出!那党为什么不改正过来!你说该子学得懂吗
发表于 2017-1-1 23:30 | 显示全部楼层
教课书没有大错.自从可以出钱印书后,确实有一些错误百出的书上了市,例如jzkyllcjl 的书等等.但我党决不会让这类书变成教课书的.

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