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易185-1薛问天：再评朱梧槚先生的“自然数集合非集论”的错误（上）
文清慧 2014-09-16 22:19

1，         关于“不断增大趋近于极限的变量”和“可达”的定义
我在上篇评论[1]中，曾批评过，“可达”是他“非集论”论证中的一个非常重要的概念，作为一个专业数学家，怎么能对此只用几个函数极限的例子做简单的说明，而不作严格的定义呢！更何况函数极限的可达同他后面论证中的趋于极限的变量的可达毫无关系。可能朱梧槚先生后来自己也意识到了这点，所以在新版中已经删掉了那些函数极限的例子，并试图对可达给出明确的定义。但是从书[4]中的3.5.1可以看出，作者的陈述并不严格，也不专业。书中的有些提法，如关于实无穷和潜无穷的解释，序数和基数的关系等，笔者并不完全认同。不过这些还暂时不影响对“非集论”主要错误的评论。为了评论方便和能够缜密严格地分析和评论，我根据作者的原意，进而严格地用数学的语言归纳出相关概念的数学定义，如趋于极限的变量以及可达性等，并且在此基础上得出本文的基本推论。
书作者引出的所谓“理想容器”的概念，实际上就是“集合”。他的“理想容器S中存储有@个对象”，实际上就是“集合S中含有@个元素”，或“集合的势等于@”。我认为还是严格地用集合论的语言来定义这些概念比较合适和专业。先从几个基本概念的定义开始。
定义（良序集） 设集合(S,≤)为一全序集，≤是其偏序关系。若S的所有非空子集，在其序下都有最小元素，则称≤为良序关系，(S,≤)为良序集。
例如，全体自然数集合N={1,2,3,…}是良序集。把基数Aleph_0记作ω，Aleph_1记作ω1。显然，基数的集合C0={0,1,2,3,…,ω}，C1={0,1,2,3,…,ω,ω1},…等都是良序集。注：良序集的序（≤），如果是自然的大小或先后顺序，本文将不再特别指明。
定义（良序集的下归子集）设有良序集U，U的子集合S称为U的下归子集，如果满足条件：若α∈S，则所有小于α的元素β皆属于S，即β∈S。
显然，下归子集还可以有另一个等价的定义。
定义（下归子集的等价定义）设有良序集U，将集合U本身，以及对任意δ∈U，集合S(δ)={x∈U | x<δ}，都称为是U的下归子集。
例如，N={1,2,3,…}的下归子集是集合：{1}, {1,2}, {1,2,3}, …, {1,2,3,…}。C1={0,1,2,3,…,ω,ω1}的下归子集是集合：{0}, {0,1}, {0,1,2}, …, {0,1,2,3,,,,}, {0,1,2,3,,,,ω}, {0,1,2,3,,,ω,ω1}。
定义（下归子集的上极限）设有良序集U的真下归子集S，S的上界集合L(S)={x∈U | x是S的上界，即对于任何y∈S有y≤x}，由于S的上界集合L(S)是U的非空子集合，按照U是良序集的定义，L(S)有最小元，称此最小元@，即S的最小上界为S的上极限。
例如，集合{1}的上极限是1， {1,2}的上极限是2, ,…,  {1,2,3,,,,} 的上极限是ω,C0={0,1,2,3,…,ω}的上极限是ω,C1={0,1,2,3,…,ω,ω1}的上极限是ω1等。
定理（有最大元） 设有良序集U的真下归子集S。S有最大元当且仅当S的上极限属于S（证明从略）。
例如N={1,2,3,,,,}无最大元，它的上极限ω不属于N；而C0={0,1,2,3,…,ω} 有最大元，它的上极限ω属于C0 。
定义（趋近于极限的变量）设S是一个良序集U的真下归子集，@为S的上极限，若k是S中的所有元素按照其序不断增大变化的变量，则称k为趋近于极限@的变量。
定义（可达）设S是一个良序集U的真下归子集，如果S的上极限@属于S（即S有最大元），则称S的元素不断增大趋近于极限@的变量k可达到@。反之，如果S的上极限@不属于S（即S无最大元），则称该变量k是不可达到极限@的。
例如，全体自然数集合N可以看作是某良序集合U（某包含N和至少一个超穷基数的基数集合，如C0,C1,…等）的真下归子集，ω显然是N的上极限。由于N无最大元，上极限ω不属于N，所以说N中的元素不断增大趋近于极限ω的变量k是不可达的。
再例如，我们考虑N的所有下归子集。每个下归子集都有它的势，即它含有的元素的个数（基数）。由所有这些下归子集的个数（势）构成的集合是基数的集合C0={0,1,2,3,…,ω}。由于N本身也是N的一个下归子集，显然N的势ω也属于其中，而且是C0的上极限。于是C0中的元素不断增大趋近于极限ω的变量k是可达的。
由上述分析不难做出如下推论：
基本推论 设有一个可数无穷序列M={a1,a2,a3,……},M中元素编号的集合是全体自然数集合N={1,2,3,…}。N中元素不断增大趋近于极限ω的变量k是不可达的。M的“个数不断增多的集合”，即M的所有下归子集的个数构成的集合是序数集合C0= {0,1,2,3,…,ω}。C0中元素不断增大趋近于极限ω的变量k是可达的。

附1.朱梧槚书[4]中的3.5.1原文。





2，         “非集论”证明①的错误分析
在书[4]中“非集论”的证明①同在文[2]中的证明表述基本没有差别。我在文[1]中已经指出，证明的主要错误有两点。
最重要的一点错误是违反了逻辑上的同一律。文中对于k的含义，前后是不一致的。
书中列出了一个由可数无穷多个不等式构成的的序列N< ：
N<={1<ω,2<ω,3<ω,...,n<ω,......}。
然后有一条记号定义引入：n(In)Ienk =df“n是N<中第k个不等式所含有的唯一确定的自然数”。
显然，这里讲的k指的是序列N<中第k个不等式的k。k和n都是自然数，自然不能取ω为值，在不等式中不可能有第ω个不等式：ω<ω。
按照我们上节的基本推论，对于N<这个可数无穷序列，k作为N<的元素（不等式）的编号不断增大的变量趋近于ω时，是不可达的。
但是后面讲的k却是另一个含义。后面讲的k是“用k来表示N<中不等式的个数不断地增多的这一变量”。所谓“N<中不等式的个数不断地增多的”集合，按照我们上节的分析，就是N<的所有下归子集的个数构成的基数的集合C0={0,1,2,3,…,ω}。k就是C0中元素不断增大趋近于ω的变量。根据上节的基本推论，这个不断增大趋近于ω的变量k是可达的。
前者是自然数，不存在第ω个不等式，所以k不能以ω为值，从而是不可达的。而后者指的是不等式的个数，是以基数为值。所有不等式的个数（即其基数）是ω，k可以取ω为值，是可达的。
朱先生文章的核心错误就是混淆了前后两个k的含义，把他们视为等同的并且用同一个符号k表示，从而导出矛盾，然后就据此归结为是自然数系统的矛盾，“证明”自然数集合是自相矛盾的非集。
证明的另外一个错误是混淆了不同系统“变量”这个词的不同含义。我们知道在逻辑系统中的变量（个体变元），同类似于数学分析中的不断变化趋于极限的变量是两个不同的概念。
在朱先生的替换式：
"n"k( n(In)Ienk→ n=k )
中和蕴含式
"n"k( n(In)Ienk→(k↑ω)∧(k Tω) )
"n"k( n(In)Ienk→(n↑ω)∧(n Tω) )
左边的n和k.代表的是自然数的个体变量（逻辑系统中的个体变元）。然而在蕴含式右边的n和k.代表的却是自然数序列(λ)和不等式个数序列中不断增大趋近于极限ω的变量。虽然都是n和k，一个是代表自然数的个体变量，一个是集合中的元素不断增大趋向于极限的变量。怎么能看成同样的对象进行推论呢?上述推论实际上是在说，由于不等式序列中第k个不等式中有自然数n，命题“不等式个数序列构成不断增大趋向于极限ω的变量k是可达的”，就可以换成“自然数序列的不断增大趋向于极限ω的变量n是可达的”。根据什么说，作为自然数的n和k相等，作为趋向于极限的变量的n和k的属性就应相同。作为一个专业的数学家竟然能如此的推论，把不同含义的n和k，任意在此互换。
顺便说一句，作为代表自然数的个体变量n和k，前面加量词是有意义的，但是作为不断增大趋于极限的变量的n和k前面加量词如何解释。可见作者在写作时逻辑概念是相当混乱的。
上述两个错误中任何一个，实际上就足以推翻书[4]中的结论。总之，从不等式个数的序列构成的基数集合{1,2,3,...,n,...,ω}，它的趋于极限ω的变量k是可达的，推导不出自然数集合{1,2,3,...,n,... }的趋于极限ω的变量n也是可达的。因而推导不出自然数集合的趋于极限ω的变量n既是可达的，又是不可达的矛盾。也就是说最后据此所得出的“自然数集合是自相矛盾的非集” 的结论也自然是错误的，不能成立。
（未完待续）
附2. 朱梧槚书[4]中的“非集论”证明①部分原文。




参考文献
[1] 易156-薛问天：专家犯错惹大祸，评朱梧檟教授的“令人惊奇的定理（徐利治教授语）”:“任何无穷集合都是自相矛盾的非集” 2014-06-21
[2] 朱梧槚,肖奚安,杜国平,宫宁生：“关于无穷集合概念的不相容性问题的研究”《南京邮电大学学报(自然科学版)》第26卷第6期，2006年12月
[3] 朱梧檟 《数学与无穷观的逻辑基础》2008-03-01 大连理工大学出版社
[4] 朱梧槚 《数学无穷与中介的逻辑基础》 2012-6-1 科学出版社
[5] 易177-薛问天：区分两种实无穷观 2014-08-14   （未完待续）

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易185-2薛问天：再评朱梧槚先生的“自然数集合非集论”的错误（下）  

薛问天
xuewentian2006@sina.cn

3. “非集论”证明②的错误分析
作者把集合分为潜无穷的“弹性集合”和实无穷的“刚性集合”。“非集论”的证明②首先引入一个潜无穷的概念叫“柯西（Cauchy）剧场”。柯西剧场所定义的自然数集合属于弹性集合。
柯西剧场的定义很简单，用{1,2,3,…,n}表示有n个座位的剧场，其中n是有穷自然数。然后让n无限制地增大。而增大的过程永远不终止。这个不断增大的动态的剧场称为柯西剧场，记作C-N。柯西剧场中所有座位的编号，即是柯西剧场所定义的自然数的（弹性）集合。
然后该书就论证，当有ω个观众要求进剧场时，由于柯西剧场的定义，剧场增大的过程永远不终止，因而“ω个观众是绝对不可能同时进场的（命题Ⅰ）”。另一方面，该书又论证，由于ω个观众中的每一位都应该在柯西剧场有他自己的座位，举不出任何一个没有座位的观众来，从而“ω个观众是完全可以同时进场的（命题Ⅱ）”。作者把命题Ⅰ和命题Ⅱ的矛盾归结为：
【公认的“存在有ω个两两相异的数值有限的自然数”这一结论根本不能成立，或者说，在古典集合论和近代集合论中所确认的那个恰由全体自然数所构成的实无限刚性集合N={ x | n(x) }是一个自相矛盾的，似是而非的非集】
从上述论证的思路来看，主要的问题和错误在于概念的混乱。
⑴ 首先来分析命题Ⅰ和命题Ⅱ。对于动态的柯西剧场来说，命题Ⅰ无疑是正确的。根据柯西剧场的动态特性，按照潜无穷的观点，柯西剧场的构建过程是进行式，永远不会完成，于是柯西剧场的座位不可能同时建成，那么“ω个观众是绝对不可能同时进场的（命题Ⅰ）”。
另一方面，由“所有ω个观众中的每一位都应该在柯西剧场有他自己的座位，举不出任何一个没有座位的观众来，”是否就能推出“所有ω个观众是完全可以同时进场的（命题Ⅱ）”呢？显然不能。原因很简单，因为你所说的剧场是动态的柯西剧场。剧场的构建过程是进行式，永远不会完成。如果按照实无穷观，剧场的构建过程是完成式，剧场的座位全部已经建成，那么所有ω个观众自然可以同时进场。但这指的不是柯西剧场，而是实无穷观的，构建过程已经完成的“康托尔剧场”。对于动态的柯西剧场来说，每个观众都依次会有座位，并不等于所有观众同时都有座位。这同朱教授所强调的，潜无穷的枚举量词“每个”同实无穷的全称量词“所有”的差别是一个道理。所以说命题Ⅱ对于柯西剧场来说，是不成立的。因而书中所说的矛盾并不存在。
⑵大家知道康托尔的集合论是实无穷观的集合论。集合中元素必须是确定的，也就是说集合的外延是固定的，不能发生变化。那些潜无穷观所认可的，由永不终止的生成过程所生成的东西，康托尔集合论并不承认它是“集合”。因而康托尔的集合论中并无“弹性集合”和“刚性集合”之分.康托尔集合论并不承认所谓潜无穷的“弹性集合”是“集合”。刚才已经论证了，对于潜无穷的“柯西剧场”，命题Ⅱ是不成立的，矛盾并不存在。退一步说，即使潜无穷的柯西剧场有矛盾，也归结不到实无穷的集合论的头上来。康托尔集合论并不承认柯西剧场所定义的编号构成的是“集合”，怎么能从有关柯西剧场的命题Ⅰ和命题Ⅱ的“矛盾”，就直接得出集合论中认为“存在有ω个两两相异的有穷自然数”不能成立和自然数集合N是“一个自相矛盾的，似是而非的非集”的结论来呢？推论的前提和结论的概念根本联系不起来，可见书作者的逻辑概念混乱到什么程度！
综上所述，书中“非集论”的第二个证明也是错误的。

附3. 朱梧槚书[4]中的“非集论”证明②部分原文。










4.  “非集论”证明③的错误分析
书[4]中“非集论”证明③仍然是犯了偷换概念的错误，违反了逻辑上的同一律。错误出在概念kc(n)定义和理解上。
该书给自然数n引入了两个属性，一个是nv(n)，表示自然数n的数值；一个是kc(n)，“表示对自然数列λ中的自然数进行点数到n之后统计出来的‘自然数个数’。”亦即表示自然数集合{1,2,3,…,n}的个数。为了讨论方便，我们把自然数集合{1,2,3,…,n}称为“n的接前集合”。显然kc(n)就是自然数n的接前集合的个数。而且对任何自然数n，它的接前集合的个数kc(n)等于n的数值nv(n)，即有kc(n)=nv(n)成立。
书作者进一步推论，由于任何自然数n的数值nv(n)是有穷的，所以任何自然数n的接前集合的个数kc(n)也是有穷的。也就是说任何kc(n)都是有穷的，“不存在kc(n)是无穷的（命题1）”
论证到此为止，我认为没有问题都正确。问题出在下面。
我们知道，另一方面集合论断定“全体自然数的集合N内部有无穷多个自然数，”也就是说自然数的个数是无穷的。但是，朱梧槚先生认为由此即可得出结论：“存在有kc(n)是无穷的（命题2）”，认为这与“不存在kc(n)是无穷的（命题1）”发生矛盾。于是由此得出结论：自然数的集合是自相矛盾的非集。
细心的读者不难看出上述推理的错误是认为“全体自然数的个数是无穷的”与“不存在自然数n的接前集合的个数kc(n)是无穷的”发生矛盾。而认为它们是矛盾的这个错误认识的根源在于，他以为“全体自然数的集合一定是某个自然数n的接前集合”。而这个论断显然是错误的。
我们知道任何自然数n的接前集合{1,2,3,…,n}，不管n有多大，它都是有穷集合，而不可能是全体自然数的无穷集合N={1,2,3,…}。因而，任何自然数n的接前集合的个数有穷同全体自然数的集合N的个数无穷并不发生矛盾。于是，朱梧槚先生由此所得的结论“自然数的集合是自相矛盾的非集”也是错误的。他的“非集论”证明③同样不成立。
产生这个错误的原因还来自对现代实无穷观的一个误解。有人错误地认为既然实无穷观承认自然数构建过程可以终止，那一定有构建过程的最后一步，而最后一步生成的自然数就是自然数的最大元。因而认为自然数有最大元。接着就认为这个最大自然数的接前集合就是全体自然数的集合。于是全体自然数的集合就成为某自然数的接前集合了。我在《评论园地》的一篇文章中[5]已经指出，古典的实无穷观认为自然数有最大元，而现代的实无穷观认为自然数没有最大元。实无穷观认为自然数构建过程可以终止，并不意味着构建过程有最后一步，会生成自然数最大元。要分清这两种实无穷观的区别。不要错误地认为自然数有最大元是现代的实无穷观的主张。
结束语
以上就是我对朱梧槚先生“非集论”的三个证明中错误的分析和评论。诚恳希望能听到网友的看法和评议意见。（全文完2014-09-16）


附4. 朱梧槚书[4]中的“非集论”证明③部分原文。






参考文献
[1] 易156-薛问天：专家犯错惹大祸，评朱梧檟教授的“令人惊奇的定理（徐利治教授语）”:“任何无穷集合都是自相矛盾的非集” 2014-06-21
[2] 朱梧槚,肖奚安,杜国平,宫宁生：“关于无穷集合概念的不相容性问题的研究”《南京邮电大学学报(自然科学版)》第26卷第6期，2006年12月
[3] 朱梧檟 《数学与无穷观的逻辑基础》2008-03-01 大连理工大学出版社
[4] 朱梧槚 《数学无穷与中介的逻辑基础》 2012-6-1 科学出版社
[5] 易177-薛问天：区分两种实无穷观 2014-08-14

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课本的“自然数集N”确如朱梧槚所述是“自相矛盾的非集”
——区间概念让“深藏”5千年的N外自然数一下子暴露出来
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303  邮编510631）
[摘要]区间[0，x]∪（x，x+1]的子区间[0，x]之外还有正数。此中学区间概念和保距变换概念让自识正自然数5千年来都无人能识的N外标准无穷大自然数一下子暴露出来，表明标准分析否定无穷大自然数及其倒数是百年重大冤案；从而证明课本的“N”确如著名数学家朱梧槚所述是“自相矛盾的非集”。以非集为“无穷集”的“定理”必是错上加错的更重大根本错误。
[关键词]N外标准无穷大自然数；伪自然数集；推翻百年自然数公理和集论；扩充数域；保距变换；有序集内从小到大一个不漏的每一元; 著名数学家朱梧槚
敢讲真话不愿人云亦云随大流的朱梧槚是基础数学与逻辑学方面的世界著名专家，其名字和事迹被列入《国际知识界名人录》《国际上卓越的学术领导人辞典》。“人品第一，学问第二。”的大老实人朱梧槚教授、博导证明了课本的“非0自然数集N”“是一个自相矛盾的似是而非的非集[1]”。——意味一系列以非集为“无穷集”的“定理”必是一系列错上加错的更重大错误。文【2】的相应结论是正确的，但其论据应改为本文的论据。
设A=｛x｝表A各元均由x代表，变数x的变域是A；A任两异元x与x+△x之间的距离是变量|△x|>0。质点x移动到新位置成点x′还是移动前的点即移动前后的点只有位置差别而无别的差别。图形A各点保距偏离原位生成的B≌A。A≌B≠A是说A与B只有错位的差别而无别的差别。只有两个点的点集｛点a，点b｝，设想a、b是闭直线段B的两端点，这两点绕B中任一点旋转是保距运动。至少有两元的点（数）集A保距变为点（数）集B就称A≌B——表示A与B可通过保距变换而重合。保距运动将直线段T的中心点变为新线段T′≌T的中心点，将相片（像素点的集合）中人的左眼变为新相片中人的左眼，将射线的起点变为新射线的起点；特别是保距且保序变换:x&#8596;x+常数△x将有最小元的数集A的最小元变为新数集B≌A的最小元。因A=B≌B故有
h定理1：至少有两元的点（数）集A=｛x｝=B=｛y｝的必要条件是A≌B，这等价于|△x|=|△y|即△y=±△x，以及y=y（x）=±x+c——表明y=±x+c以外的一切y=y（x）的定义域必≠值域。
证：A=B≌B时A与B的元x与y必可有一一对应关系：x&#8596;y=y（x），在此关系下y+△y中的△y=y（x+△x）-y（x），A=B≌B说明A各元x变为y（x）（x&#8596;y（x））组成B=｛y（x）｝=A不一定恒等变换但一定是保距变换;由A≌B的定义A(=B)任两异元x与x+△x间的距离是|△x|=|x+△x-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|=B任两异元y与y+△y间的距离；而当且仅当y=y（x）=±x+c时才有△y=y（x+△x）-y（x）=±（x+△x）+c-（±x+c）=±△x。证毕。
h定理2：若点集A（至少有两元）各元点p保距变为点p′（p）生成元为点p′的B≌A则A各点p到A任一点p0的距离ρ=ρ′=B各元点p′（p）到点p′0（p0）∈B的距离，即ρ′与ρ是同一距离函数。
证：设A=｛x｝≌B =｛y（x）｝，A各元点x到A任一点x0的距离ρ=|x-x0|，B各元点y（x）到点y0（x0）∈B的距离ρ′=|y（x）-y0（x0）|，由A≌B的定义ρ′=ρ；同样，A与B可是n≥2维空间图形，……。证毕。
若n∈自然数集N则称n+1为n的后继数，n为n+1的前驱数。人类5千多年来一直认定各已知自然数n∈N与1（或2,3，...）的和n+1（或n+2,n+3，...）均是已知自然数∈N。一切已知自然数n组成N&#8834;R各元n均有后继标准自然数n+1。挖去R轴一点x就空出一位置“洞”x说明R轴由点与容纳点的位置洞两部分组成。可将点集：……看成是有洞直线段，因其是相应无空隙直线段挖去部分点后形成的；其各点可作保距或非保距平移。将x轴的射线x≥0（各x∈R）中的非自然数点x都挖去就得有许多空位漏洞的有洞射线n≥0（n的变域是N）。有洞射线N={0，1，2，…，n，…}沿N正向保距平移距离1就成为有洞射线H={n+1}(n≥0的变域是N)≌N。数集（列）N={n}各元n≥0保距且保序变为n的后继y=n+1>n生成含一切后继数y的数集（列）H={1，2，...，n+1，...}，N一切非0元n≥1组成N的子部N+={n≥1}&#8834;N, N+=H吗?由合同图形概念知点集N的任何真子集都不可≌N——说明≌N的H不可是N的真子集N+&#8834;N。保距变换将射线的起点变为新射线的起点, 保距且保序变换:n&#8596;n+1将N变为H≌N，将N的最小元变为H的最小元。“=H”的N+各元n≥1到N+的最小元n=1的距离是n-1≥0（n≥1的变域是N+)而N各元n≥0到N的最小元0的距离是n≥0（n的变域是N)，因距离n≥0与n-1≥0 不是同一距离函数故据h定理2 N+不≌N——说明≌N的H≠N+。因N+各n≥1都是其前驱n-1∈N的后继n∈后继集H故H包含N+，包含N+的H≠N+说明H中必至少有一N+外无穷大自然数n+1（>n）=t>N+一切自然数n。对N任何（一切）元n均有区间[0，n]，...。变域为N的n被限制只能代表区间            
Q=[0，n]∪（n，n+1]∪（n+1，n+2]∪...∪...
的各子区间[0，n]（n的变域为N）内的自然数，当n由小到大遍取N一切数n时[0，n]的长度n-0=n由0→∞而变至能长到包含N一切数n；据区间概念在各[0，n]（n的变域为N）之外还有用而不知的自然数n+1=t>n以及t+1>t等等>N一切数n∈[0，n]，因Q中区间族｛[0，n]|n的变域为N｝（元为[0，n]）远不可包含一切标准自然数。详论见[3]。
人类由认识自然数到发现t竟须历时5千多年！发现的异常艰难性由此可见一斑。但若担心熟悉区间概念和保距变换概念的亿万学生看此文后还不能立刻认识这“特异”的t那就是污蔑其是弱智群体了。不识这t使中学数学几百年来一直将数集（列）I={y=n+3≥3}(n≥0的变域是N)≌N误为N一切≥3的元n组成的{n≥3}&#8834;N，…；可见H∪｛0｝和I∪｛0，1，2｝等等均是伪自然数集。几百年“N+=H”使康脱推出病态的：N～N+&#8834;N。
函数“常识”：“对于一个不漏的每一自然数n都有对应自然数y=n+1>n”是重大病句：有自然数y>每一自然数 n。“对任何有穷自然数n都有自然数y＞n”就不是病句了。所以N不可既含全部标准自然数而又各元n都有后继标准自然数y=n+1∈N。所以“对加、剩法封闭的N”中的N确是“自相矛盾的非集”。
保距且保序变换概念让5千年都无人能识的N外无穷大自然数t和其它无穷大自然t-1∈N等一下子暴露出来推翻百年自然数公理和集论，表明标准分析否定无穷大自然数及其倒数是百年重大冤案。可见一直存在无穷大自然数n>任何有穷正数ε，其倒数1/n是无穷小正数＜ε。可见否定无穷数与否定无理数一样都使标准数学自相矛盾。标准分析之前2千多年的数学一直使用未经严格证明的无穷数推理，轻而易举地攻克了不用无穷数就无法解决的一系列世界难题，只不过对这类举足轻重的数一直无力实现由感性认识跃升到理性认识罢了。
R&#8835;D=（0，1）各元x>0变为y=x2<x（0<x2<1）组成元为y的Z是非保距变换，据h定理1Z≠D即定义域是D的y=x2的值域Z≠D。同理，定义域是D的y=x3、y=x4、...的值域均≠D；自有变域概念几百年来数学一直搞错了y（x）的值域而将两异集误为同一集。用h定理1、2检验知课本上类似这样将两异集误为同一集的错误比比皆是。
隐瞒上述重大错误犹如医学界隐瞒“非典”真相，是致命错误。（历史上曾出现“杀人灭口”以隐瞒存在无理数的丑闻）隐瞒上述重大真相不是真正热爱数学，恰恰相反，...。破除迷信、解放思想、实事求是，才能创造世界奇迹使数学发生革命飞跃。
                      参考文献
[1]朱梧槚，数学与无穷观的逻辑基础[M]，大连：大连理工大学出版社，2008.2：231。
[2]黄小宁，数学课本一系列重大错误使康脱误入百年歧途——让“深藏”5千年的最大自然数一下子暴露出来[J]，科技视界，2013（31）。
[3]黄小宁，数列、集合、逻辑学起码常识暴露课本一系列重大错误——数列起码常识否定5千年“常识”：无最大自然数[J]，科技视界，2015（32）：5。
[4]黄小宁，凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错误——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的直线段[J]，数理化解题研究，2016（24）:19。
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elimqiu

楼上的东西开通了两千三百年无人能识的道理. 能让中学生认识一下子. 要问中学生认识了啥，答曰2300年都无人能识.

hxl268

elimqiu 发表于 2017-1-10 06:16
楼上的东西开通了两千三百年无人能识的道理. 能让中学生认识一下子. 要问中学生认识了啥，答曰2300年都无人 ...

敢讲真话不愿人云亦云随大流的朱梧槚是基础数学与逻辑学方面的世界著名专家，其名字和事迹被列入《国际知识界名人录》《国际上卓越的学术领导人辞典》。“人品第一，学问第二。”的大老实人朱梧槚教授、博导证明了课本的“非0自然数集N”“是一个自相矛盾的似是而非的非集[1]”。——意味一系列以非集为“无穷集”的“定理”必是一系列错上加错的更重大错误。文【2】的相应结论是正确的，但其论据应改为本文的论据。

elimqiu

谁敢回答最大自然数等于多少？

任在深

elimqiu 发表于 2017-1-10 14:47
谁敢回答最大自然数等于多少？

最大自然数：  n→∞
最小自然数：  1/n→0≠0 !

elimqiu

主楞有话说: 楞头苍蝇对破蛋转，最后向狗屎堆行军礼，才正宗原屎。呵呵

jzkyllcjl

对于“实无穷”这个术语，王宪钧在《数理逻辑引论》中说到：“实无穷论者认为，无穷(在数学中表现为无穷集)是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的.。潜无穷论者否定实无穷，认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的”[4] 仔细分析起来，无穷集合都具有其元素永远不能列举完毕的性质，因此实无穷论者对无穷集合提出的形容词“完成的”是违反事实的、不能容许的（因为：无限延续的工作是不能被人们完成的）。这是无穷集合的与有穷集合不同的第一个重要性质。至于实无穷论者的对无穷集合的形容词“现实的、存在的”，根据不同的视角，它可以提出；也不可以提出。事实上，根据自然数基本数列{0，1，2，3，……，n，……}具有无限延续的性质，只有在时间不受限制的条件下，才可以说这个无穷数列中的元素个数是在无限增加着的意义下的现实的、存在的无穷集合；但若考虑到“任何有限时间内都不能做完无限延续的工作”的事实，也可以说这样的无穷集合不是现实存在的集合。这是无穷集合与有穷集合不同的第二个重要性质。这两个不同的性质，也叫做无穷集合的辩证性质。还可以说：不能构造完毕的理想性质的自然数集合是元素个数为有限自然数n的正常集合序列{{0，1，2，3，……，n-1}}非正常极限，它不是现实存在的理想集合。对此，希尔伯特就说过“感觉经验和物理世界里没有无穷小、无穷大和无穷集合”、“由于无穷不能在经验中直接验证，称之为理想元素”的话。上述两个性质说明：完成了的实无穷观点不成立；也说明现行的数学教科书中的上述三种实数理轮与康托儿无穷集合理论都不成立。笔者的这个“推翻现行实数理轮与现行无穷集合理论”的论述太大了；但是，笔者看了毛泽东的实践论与矛盾论。

jzkyllcjl

“N外无穷大自然数”不存在。因为 N表示的是其元素个数“无有穷尽、无有终了”意义的、极限性质的、理想性质的、潜无限意义的、元素个数无限延续着的、无上界的 非正常集合。