在 ΔABC 中，∠A,∠B,∠C 对边长为 a,b,7 ，求 a^2cos2B+2abcos(A-B)+b^2cos2A 的值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

dodonaomiki

一开始，
我非常愚顽の，
针对2abcos(A-B)中的cos(A-B)，拆解开来，
去括号！



然后，就不晓得怎么接下去啦，
不晓得怎么搞啦！




陆老师的解答，
尤如行云流水，
水到渠成，
无比畅快与舒爽的节奏！非常之腻害！


我就没想到“整体代换”这一招！
结果，怎么想，结果都搞不出来

王守恩

1，我们有
  c=(2c^2)/(2c)
   =(a^2+c^2-b^2)/(2c)+(b^2+c^2-a^2)/(2c)
   =a(a^2+c^2-b^2)/(2ac)+b(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
2，由余弦定理
  cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
  cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
  得
c=acosB+bcosA      (1)
3，由正弦定理
  asinB=bsinA
  得
  0=asinB-bsinA        (2)
4，综合(1),(2)
c^2= c^2-0
       =(acosB+bcosA)^2-(asinB-bsinA)^2
       =a^2cos^2B+2abcosAcosB+b^2cos^2A
       -a^2 sin^2B+2ab sinA sinB - b^2 sin^2A
       =a^2 cos 2B+2ab cos(A-B)+b^2 cos 2A
5，同理
   b^2 =a^2 cos 2C+2ac cos(A-C)+c^2 cos 2A
   a^2 =b^2 cos 2C+2bc cos(B-C)+c^2 cos 2B