求最小的整数 n 使得大于 n 的整数都可以表示为 6a+9b+20c（a,b,c 为非负整数）的形式

luyuanhong

题  求最小的整数 n 使得大于 n 的整数都可以表示为 6a+9b+20c（a,b,c 为非负整数）的形式。

解  当 n=43 时，因为 6,9 都是 3 的倍数，而 43 不是 3 的倍数，所以 43 要表示为 6,9,20

的非负线性组合，必须要用到 20 。如果只用到一个 20 ，因为 43-20=23 不是 3 的倍数，所以

不可能表示为 6,9 的非负线性组合。如果用到两个 20 ，43-20×2=3 虽然是 3 的倍数，但因为

3 小于 6,9 ，也不可能表示为 6,9 的非负线性组合。

    当 n＞43 时，n 总可以表示为 6,9,20 的非负线性组合，因为

    当 n=44+6k 时，有 n=6×4+9×0+20×1+6k（k=0,1,2,…）；

    当 n=45+6k 时，有 n=6×0+9×5+20×0+6k（k=0,1,2,…）；

    当 n=46+6k 时，有 n=6×1+9×0+20×2+6k（k=0,1,2,…）；

    当 n=47+6k 时，有 n=6×0+9×3+20×1+6k（k=0,1,2,…）；

    当 n=48+6k 时，有 n=6×8+9×0+20×0+6k（k=0,1,2,…）；

    当 n=49+6k 时，有 n=6×0+9×1+20×2+6k（k=0,1,2,…）。

    由此可见，n=43 是最小的整数，使得大于 n 的整数都可以表示为 6,9,20 的非负线性组合。