这个怎么证？

wozys

求证。|x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|x+z|+|x+y+z|>=0

申一言

证
  1.当 X,Y,Z同为正数或负数时；
   |x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|x+z|+|x+y+z|=2（X+Y+Z）-2（X+Y+Z)=0
2.当其中有一项为负数时，
   设 x，或Y,Z分别为负数，
  则：
|x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|x+z|+|x+y+z|=X+Y+Z-Y+X-Y-Z-Z+X-X+Y+Z
                                      =2X
  同理得： 2Y,2Z,均大于0.
3.其中有两项为负数，X,Y；X,Z或Y,Z
  则
  |x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|x+z|+|x+y+z|=X+Y+Z-X-Y-Z+Y-Z+X+Z-Y-X=0
  同理 Y,Z;X,Z为负也为0.
  因此。|x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|x+z|+|x+y+z|>=0
      成立。
                   证毕。
            

   

luyuanhong

下面引用由wozys在 2011/02/10 00:27am 发表的内容：
求证。|x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|x+z|+|x+y+z|>=0

下面是一种比较麻烦的分情况讨论的证法，欢迎大家找出更简单的证法：

申一言

   啊！
      教授您是否犯了低级错误了？
     |-y|=（-y） ？
                             

luyuanhong

下面引用由申一言在 2011/02/11 00:17pm 发表的内容： 啊！ 教授您是否犯了低级错误了？ |-y|=（-y） ？

当 z<0 时，有 -z>0 ，所以 |z|=-z>0 。

申一言

   请问那绝对值还有什么意义了？
    |x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|x+z|+|x+y+z|>=1
您的 （3）X+Y≥-Z≥X≥Y≥0
     |x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|x+z|+|x+y+z|>=1
      X+Y+Z-X-Y-Y+Z-X+Z+X+Y-Z=2Z＞0
   可是不知您是如何求出的：
     。|x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|x+z|+|x+y+z|=2（X+y+Z)?
                     谢谢给予指正！


                                 谢谢！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/02/11 05:28pm 第 1 次编辑]

下面引用由申一言在 2011/02/11 04:29pm 发表的内容：
   请问那绝对值还有什么意义了？
    |x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|x+z|+|x+y+z|>=1
您的 （3）X+Y≥-Z≥X≥Y≥0
    |x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|x+z|+|x+y+z|>=1
     X+Y+Z-X-Y-Y+Z-X+Z+X+Y-Z=2Z＞0
  可是不知您是如何求出的：
    。|x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|x+z|+|x+y+z|=2（X+y+Z)?
                    谢谢给予指正！

(3) 当 x+y≥-z≥x≥y≥0 时。
因为 x+y≥x≥y≥0 ，所以 |x|=x ，|y|=y ，|x+y|=x+y 。
因为 -z≥0 ，z≤0 ，所以 |z|=(-z) 。
因为 -z≥x ，所以 x+z≤0 ，-(x+z)≥0 ，所以 |x+z|=-(x+z) 。
因为 -z≥y ，所以 y+z≤0 ，-(y+z)≥0 ，所以 |y+z|=-(y+z) 。
因为 x+y≥-z ，所以 x+y+z≥0 ，所以 |x+y+z|=x+y+z 。
综合上面这些结果，所以有
  |x|+|y|+|z|-|x+y|-|x+z|-|y+z|+|x+y+z|
= x + y +(-z)-(x+y)+(x+z)+(y+z)+(x+y+z)
= x + y - z - x -y + x+z +y +z + x+y+z
= 2x + 2y + 2z = 2(x+y+z) 。

申一言

   请看：
         。|5|+|3|+|-8|=16 ？
           |5|+|3|+|-8|=5+3-8=0 ?!
        又|5|+|3|+|-9|-|5+3|-|3-9|-|5-9|+↓5+3-9|
            =5+3+9-8-6-4+1
            =0
  



                             给您添麻烦了！
                                                   谢谢！
  


  


      

申一言

  陆教授你好！
      俺找来了相关定义：
  在初中数学教材中,对有理数绝对值的概念,通常有三种定义方法: 定义一:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零。 定义二:正负数的绝对值就是删掉正或负的符号而得到的算术数(已经学过的数),零的绝对值是零. 定义三:在数轴上表示一个数的点离
                       您看对吗？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/02/11 08:06pm 第 1 次编辑]

下面引用由申一言在 2011/02/11 07:21pm 发表的内容：
   请看：
         。|5|+|3|+|-8|=16 ？
           |5|+|3|+|-8|=5+3-8=0 ?!
        又|5|+|3|+|-9|-|5+3|-|3-9|-|5-9|+↓5+3-9|
...

（3）当 x+y≥-z≥x≥y≥0 时 , 有
  |x|+|y|+|z|-|x+y|-|x+z|-|y+z|+|x+y+z|= 2(x+y+z) ≥ 0 。

例1  设 x=5 ,y=3 ,z=-7 ，这时有 -z=7 ，x+y=5+3=8 。
因为 8≥7≥5≥3≥0 ，所以满足条件 x+y≥-z≥x≥y≥0 。
  |x|+|y|+|z|-|x+y|-|x+z|-|y+z|+|x+y+z|
= |5|+|3|+|-7|-|5+3|-|5-7|-|3-7|+|5+3-7|
= |5|+|3|+|-7|-|8|-|-2|-|-4|+|1|
=  5 + 3 + 7 - 8 - 2 - 4 + 1
=  2
=  2×1
=  2×(5+3-7)
=  2(x+y+z) 。
可见上面的结论（3）成立。

例2  设 x=5 ,y=3 ,z=-8 ，这时有 -z=8 ，x+y=5+3=8 。
因为 8≥8≥5≥3≥0 ，所以满足条件 x+y≥-z≥x≥y≥0 。
  |x|+|y|+|z|-|x+y|-|x+z|-|y+z|+|x+y+z|
= |5|+|3|+|-8|-|5+3|-|5-8|-|3-8|+|5+3-8|
= |5|+|3|+|-8|-|8|-|-3|-|-5|+|0|
=  5 + 3 + 8 - 8 - 3 - 5 + 1
=  0
=  2×0
=  2×(5+3-8)
=  2(x+y+z) 。
可见上面的结论（3）成立。

（4）当 -z≥x+y≥x≥y≥0 时 , 有
  |x|+|y|+|z|-|x+y|-|x+z|-|y+z|+|x+y+z|= 0 ≥ 0 。

例3  设 x=5 ,y=3 ,z=-9 ，这时有 -z=9 ，x+y=5+3=8 。
因为 9≥8≥5≥3≥0 ，所以满足条件 -z≥x+y≥x≥y≥0 。
  |x|+|y|+|z|-|x+y|-|x+z|-|y+z|+|x+y+z|
= |5|+|3|+|-9|-|5+3|-|5-9|-|3-9|+|5+3-9|
= |5|+|3|+|-9|-|8|-|-4|-|-6|+|-1|
=  5 + 3 + 9 - 8 - 4 - 6 + 1  
=  0 。
可见上面的结论（4）成立。