在ΔABC 中，角 A,B,C 对边 a,b,c，acosB=bcosA，BC 上中线长 4，求ΔABC 面积最大值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

王守恩

1，答案是32/3
2，显见∠A=∠B
3，设CB的中点为D，则
     4^2=CA^2+CD^2-2*CA*CD*cosC
          =(2X)^2+X^2-2*2X*X*cosC
          =5X^2 - 4X^2*cosC
4，即：X^2=16/(5-4cosC)
5，S=1/2*(2X)^2*sinC
      =2X^2*sinC
      =2*16*sinC/(5 - 4cosC)
6，试算sinC/(5 - 4cosC)，有最大值1/3
7，得▲ABC面积最大值32/3。


说明
显见∠A=∠B
设a=sinA   b=sinB
由条件   acosB=bcosA   得
        sinAcosB=sinBcosA
       sinAcosB - sinBcosA=0
        sin(A - B)=0
即：∠A=∠B

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

angel_phoenix88

2RsinAcosB=2RsinBcosA(1)
得出tgA=tgB
三角形中必然意味着A=B
三角形面积=(a^2sinC)/2(1)
中线AD^2=a^2(5/4-cosC)=16(2)
原题等价于求取32sinC(5-4cosC)的最大值
3sinC+4cosC=5sin(C+β)≤5(tgβ=3/4)(3)
所以最大面积为32/3


可以发展为通项解法
acosB=bcosA
BC上中线长度
AD=t
则三角形最大面积为(2/3)t^2(求取2sinC/(5-4cosC)t^2最大值)

angel_phoenix88

2RsinAcosB=2RsinBcosA(1)
得出tgA=tgB
三角形中必然意味着A=B
三角形面积=(a^2sinC)/2(1)
中线AD^2=a^2(5/4-cosC)=16(2)
原题等价于求取32sinC/(5-4cosC)的最大值
3sinC+4cosC=5sin(C+β)≤5(tgβ=3/4)(3)
所以最大面积为32/3


可以发展为通项解法
acosB=bcosA
BC上中线长度
AD=t
则三角形最大面积为(2/3)t^2(求取2sinC/(5-4cosC)t^2最大值)

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix88 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。