[求助]求教证明题

jx215

求证：2^x-1=7y 有无穷多组正整数解

drc2000

证:当x=3n(n∈N)时.原不定方程化为:8^x-1=7y
既7+1)^n-1=7y
展开二项式,消去最后一项得:
7^x+C(1,7)*7^(n-1)+C(2,n)*7^(n-1)+...+C(n-1,7)*7=7y
注意到左边各项都含有因数7,
故:y=7^(x-1)+C(1,7)*7^(n-2)+C(2,n)*7^(n-3)+...+C(n-1,7)
而二项式展开式中各个项都是整数.所以原不定方程有无数多整数解:
x=3n
y=7^(x-1)+C(1,7)*7^(n-2)+C(2,n)*7^(n-3)+...+C(n-1,7)

drc2000

x=3,y=1
x=6,y=9
x=9,y=73
...

jx215

[这个贴子最后由jx215在 2011/02/23 09:12pm 第 1 次编辑]

谢谢LS解答
现在假如把7换成任意大于1的奇数p，则是否存在无穷多组解？
求证：2^x-1=py p>1且p为奇数，有无穷多组正整数解

例如：2^x-1=11y
      2^x-1=13y
      2^x-1=17y
        ......
   

drc2000

对于2^x-1=11y
当x=10n(n∈N)时.1024^n-1=11y有无数多解.

drc2000

对于2^x-1=13y
当x=12n(n∈N)时.4096^n-1=11y有无数多解.
对于2^x-1=17y
当x=8n(n∈N)时.256^n-1=11y有无数多解.

無言

下面引用由jx215在 2011/02/23 09:10pm 发表的内容：
谢谢LS解答
现在假如把7换成任意大于1的奇数p，则是否存在无穷多组解？
求证：2^x-1=py p>1且p为奇数，有无穷多组正整数解
例如：2^x-1=11y
...