高维球的球面面积与体积的化简公式：

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2011/02/25 07:25pm 第 1 次编辑]

[color=#8B008B]
高维球的球面面积与体积的化简公式：

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》论坛发表过的一个帖子：

zhaolu48

下面引用由luyuanhong在 2011/02/25 09:45pm 发表的内容：
下面是我过去在《数学中国》论坛发表过的一个帖子：

[color=#8B008B]
我在一楼的公式就是您给出的公式的化简。
尤其是在n为偶数时，公式表示形式更简单。
0!=1
S(2m)=[2/(m-1)!](π^m)R^(2m-1)
V(2m)=[1(/m!)](π^m)R^(2m)
当m=1时有
S(2)=2πR，V(2)=πR^2。
当m=2时有
S(4)=2(π^2)R^3，V(4)=(1/2)(π^2)R^4。
当n为奇数时
S(2m+1)={2^(m+1)/[(2m-1)(2m-3)…3×1}(π^m)R^(2m)
V(2m+1)={2^(m+1)/[(2m+1)(2m-1)…3×1}(π^m)R^(2m+1)
m=1时
S(3)=[(2^2)/1]πR^2=4πR^2，V(3)=[(2^2)/(3×1)]πR^2=(4/3)πR^3；
m=2时
S(5)=[(2^3)/(3×1)](π^2)R^4=(8/3)(π^2)R^4，
V(5)=[(2^3)/(5×3×1)](π^2)R^5=(8/15)(π^2)R^5。

luyuanhong

下面是对第2楼公式的证明（也是我过去发表过的帖子）：

zhaolu48

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/02/27 05:38pm 第 2 次编辑]

第4楼证明中用到的两个关系式，推导如下：

zhaolu48

luyuanhong

楼上 zhaolu48 先生说得对，谢谢！
我已按照 zhaolu48 先生的意见对第 6 楼帖子作了修改。

zhaolu48