已知实数 x,y 满足 5x^2-y^2-4xy=5 ，求 2x^2+y^2 的最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

紅色圈起來是為什麼?

angel_phoenix88

换种另类解法，已知
5x^2-4xy-y^2=5(可以看做一种双曲线)
假设2x^2+y^2=t(椭圆)
则t取最小值时椭圆和双曲线必然有公切线
两个方程同时求导并联立
10x-4x(dy/dx)-4y-2y(dy/dx)=0(1)
4x+2y(dy/dx)=0(2)
由(2)得出
dy/dx=-2x/y(3)，代入(1)并分解因式

(4x-y)(2x+4y)=0

所以最小值时y=4x(无解)或x=-2y(最小值为5/3,此时27y^2=5，而求解的值为9y^2)

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix88 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的解法：

angel_phoenix88

再来一个思路
因式分解(5x+y)(x-y)=5
设5x+y=t
则x-y=5/t
解出x=(t+5/t)/6
y=(t-25/t)/6
代入2x^2+y^2=(2(t+5/t)^2+(t-25/t)^2)/36=(3t^2+675/t^2-30)/36≥(2sqrt(3*675)-30)/36=5/3(此时t^2=15)

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix88 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。