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发表于 2017-2-13 15:31
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电梯直达1#
发表于 2017-2-13 07:48 | 只看该作者
x^n+y^n=z^n(n≥3)没有正整数解,在n=4时,费马自己给出证明,但我没搜到无穷降级的证明结果
以下是我的证明,找人看看思路有没有问题(或者有人这样证明过)
过程:
i)假设x^4+y^4=z^4有正整数解,则必然存在一组基础解(x,y,z)=(a,b,c)
满足(a,b)=1,(a,c)=1,(b,c)=1
假如(a,b)=t>1,很显然t|c,把t除掉形成基础解(a,b,c位置对等的)
(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2(1)
针对基础解,a,b,c必然是两两互质的两奇数一偶数
ii)基于勾股定理d^2+e^2=f^2
所有正整数解,满足:d=m^2-n^2,e=2mn,f=m^2+n^2(m,n为相异的正整数,d,e可交换位置)(2)
iii)基于1),2)
假如
(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2存在最简
基础解(a,b,c)
则可设
a^2=m^2-n^2
b^2=2mn
c^2=m^2+n^2
以上记为(3)
.(a,b可交换位置)
由于a,b,c两两互质且两奇一偶
可以得出(m,n)=1,m,n为一奇一偶
下面证明(3)不可能三个全是完全平方数
如果b^2=2mn有解,则m=2p^2,n=q^2,(p,q)=1(m,n也可互换),且q为奇数
下面只要证明4p^2-q^2和4p^2+q^2不可能同时为完全平方数
由于这两个都是奇数,不妨设a^2=4p^2-q^2=(2k+1)^2,c^2=4p^+q^2=(2l+1)^2
则c^2-a^2=2q^2=4(l^2+l-k^2-k)
得出q^2=2(l-k)(l+k+1)(4)
由于左侧为奇数,右侧为偶数,不可能成立
因此x^4+y^4=z^4不存在正整数解(费马定理n=4 |
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