已知 a,b,c＞0 ，1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)=1 ，求证：a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

請問這個解答紅色部分是為什麼

195912

题 : 已知 a,b,c＞0 ，1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)=1 ，
求证：a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c)
证明 : 设
            1/(a+1) = x ,1/(b+1) =y , 1/(c+1) = z
则
             a = 1/x - 1 , b = 1/y - 1 , c = 1/z - 1 , x , y , z ∈ ( 0 , 1 )
且            
             x + y + z = 1
因为
              f (1/3) = 1/x + 4/(x-1) + 3 + k (3x - 1) = 0 , k ∈ N
易证
              1/x + 4/(x-1) + 3 ≥ -6(3x - 1)   x ∈ ( 0 , 1 )
即
               1/x + 4/(x-1)  ≥ -18x + 3 ,  x ∈ ( 0 , 1 )         ( 1 )
同理
               1/y + 4/(y-1)  ≥ -18y + 3 ,  y ∈ ( 0 , 1 )         ( 2 )
               1/z + 4/(z-1)  ≥ -18z + 3 ,   z ∈ ( 0 , 1 )         ( 3 )
所以
                   a+b+c - 4(1/a+1/b+1/c)
              =[1/x + 4/(x-1) + 3] + [1/y + 4/(y-1) + 3] + [1/z + 4/(z-1) + 3 ]
              ={[1/x + 4/(x-1) ] + [1/y + 4/(y-1) ] + [1/z + 4/(z-1) ] }+ 9
根据 ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) 式，有
                {[1/x + 4/(x-1) ] + [1/y + 4/(y-1) ] + [1/z + 4/(z-1) ] }+ 9
             ≥ [(-18x + 3 ) + ( -18y + 3 ) + ( -18z + 3 )] +9
             = -18(x + y + z) + 18
             = 0
所以
             a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c) .

luyuanhong

1/x + 4/(x-1) ≥ -18x + 3 ,  x ∈ (0 ,1) 不成立。

例如，令 x = 0.8 ，这时

1/x + 4/(x-1) = 1/0.8 + 4/(0.8-1) = 1.25 + 4/(-0.2) = 1.25 - 20 = -18.75 ，

-18x + 3 = -18×0.8 + 3 =  -14.4 + 3 = -11.4 。

显然

1/x + 4/(x-1) = -18.75 ＜ -11.4 = -18x + 3 。

195912

感谢 luyuanhong 先生点评 .

195912

题 : 已知 a,b,c＞0 ，1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)=1 ，
求证：a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c)
证明 : 设
            1/(a+1) = x ,1/(b+1) =y , 1/(c+1) = z
则
             a = 1/x - 1 , b = 1/y - 1 , c = 1/z - 1 , x , y , z ∈ ( 0 , 1 )
且            
             x + y + z = 1
因为
              f (x) = 1/x + 4/(x-1) + 18x - 3
对
              f (x) = 0
有
              X_1 = - (1/6) , x_2 = 1/3 , x_3 = 1/2
又
             x  ∈ ( 0 , 1 )
易证
               1/x + 4/(x-1)  ≥ -18x + 3 ,  x ∈ ( 0 , 1/2 )         ( 1 )
同理
               1/y + 4/(y-1)  ≥ -18y + 3 ,  y ∈ ( 0 , 1/2 )         ( 2 )
               1/z + 4/(z-1)  ≥ -18z + 3 ,   z ∈ ( 0 , 1/2 )         ( 3 )
所以
                   a+b+c - 4(1/a+1/b+1/c)
              =[1/x + 4/(x-1) + 3] + [1/y + 4/(y-1) + 3] + [1/z + 4/(z-1) + 3 ]
              ={[1/x + 4/(x-1) ] + [1/y + 4/(y-1) ] + [1/z + 4/(z-1) ] }+ 9
根据 ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) 式，有
                {[1/x + 4/(x-1) ] + [1/y + 4/(y-1) ] + [1/z + 4/(z-1) ] }+ 9
             ≥ [(-18x + 3 ) + ( -18y + 3 ) + ( -18z + 3 )] +9
             = -18(x + y + z) + 18
             = 0
所以
             a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c) .

luyuanhong

x + y + z = 1 不能保证有 x∈(0,1/2) ，y∈(0,1/2) ，z∈(0,1/2) 。

例如，设 a = 0.25 ，b = 9 ，c = 9 ，这时有

x = 1/(a+1) = 1/(1+0.25) = 1/1.25 = 0.8 ，

y = 1/(b+1) = 1/(1+9) = 1/10 = 0.1 ，

z = 1/(c+1) = 1/(1+9) = 1/10 = 0.1 。

这时有 x + y + z = 0.8 + 0.1 + 0.1 = 1 ，但是 x = 0.8 ＞ 1/2 。

195912

题 : 已知 a,b,c＞0 ，1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)=1 ，
求证：a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c)
证明 : 设
            1/(a+1) = x ,1/(b+1) =y , 1/(c+1) = z
则
             a = 1/x - 1 , b = 1/y - 1 , c = 1/z - 1 , x , y , z ∈ ( 0 , 1 )
且            
             x + y + z = 1                          ( 1 )
因为
              f (x) = 1/x + 4/(x-1) + 18x - 3
对
              f (x) = 0
有
              X_1 = - (1/6) , x_2 = 1/3 , x_3 = 1/2
又
             x  ∈ ( 0 , 1 )
易证
               1/x + 4/(x-1)  ≥ -18x + 3 ,  x ∈ ( 0 , 1/2 )         ( 2 )
同理
               1/y + 4/(y-1)  ≥ -18y + 3 ,  y ∈ ( 0 , 1/2 )         ( 3 )
               1/z + 4/(z-1)  ≥ -18z + 3 ,   z ∈ ( 0 , 1/2 )         ( 4 )
所以
                   a+b+c - 4(1/a+1/b+1/c)
              =[1/x + 4/(x-1) + 3] + [1/y + 4/(y-1) + 3] + [1/z + 4/(z-1) + 3 ]
              ={[1/x + 4/(x-1) ] + [1/y + 4/(y-1) ] + [1/z + 4/(z-1) ] }+ 9
根据 ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) 式，有
               x + y > z , y + z > x , z + x > y .
                {[1/x + 4/(x-1) ] + [1/y + 4/(y-1) ] + [1/z + 4/(z-1) ] }+ 9
             ≥ [(-18x + 3 ) + ( -18y + 3 ) + ( -18z + 3 )] +9
             = -18(x + y + z) + 18
             = 0
所以
             a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c) .
例 ：(  1 ) x=49/100 ,y=49/100 ,z = 1/50
              a=51/49 , b=51/49 , c = 49
       ( 2 ) x=49/100 , y = 1/4 , z = 13/50
              a=51/49 , b=3 , c = 37/13
显然，例( 1 ),例( 2 )，满足
             x + y + z = 1
             x , y , z   ∈ ( 0 , 1/2 )
             x + y > z , y + z > x , z + x > y .
亦满足
              a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c) .
              

195912

x + y + z = 1 不能保证有 x∈(0,1/2) ，y∈(0,1/2) ，z∈(0,1/2)

例如，设 a = 0.25 ，b = 9 ，c = 9 ，虽然有
          x = 1/(a+1) = 1/(1+0.25) = 1/1.25 = 0.8 ，

          y = 1/(b+1) = 1/(1+9) = 1/10 = 0.1 ，

          z = 1/(c+1) = 1/(1+9) = 1/10 = 0.1 。

            x + y + z = 0.8 + 0.1 + 0.1 = 1
但与
             x∈(0,1/2)
不符，这样便有
           1/x + 4/(x-1)  ≤ -18x + 3
使
           a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c)
不成立，所以"a = 0.25 ，b = 9 ，c = 9 "不是原题的解，原题的所有解，满足
          x + y + z = 1，其中x∈(0,1/2) ，y∈(0,1/2) ,z∈(0,1/2)
且
          a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c)，其中,a = 1/x - 1 , b = 1/y - 1 , c = 1/z - 1 ,

luyuanhong

当 a = 0.25 ，b = 9 ，c = 9  时，有

a + b + c = 0.25 + 9 + 9 =18.25  ，

4 (1/a + 1/b +1/c) = 4 (1/0.25 + 1/9 + 1/9) = 152/9 = 16.888… 。

所以成立  a + b + c ≥ 4 (1/a + 1/b + 1/c) 。

195912

請問這個解答紅色部分是為什麼
易证:  file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image022.gif