再回复刘景教授（二）

雷明85639720

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再回复刘景教授（二）
雷明
（二○一七年二月二十一日）

①  《话说四色问题》一文中的有关部分：
32、关于“构形”的概念：
证明四色猜测最开始时的1879年坎泊是采用的着色法，直到1976年阿贝尔的所谓计算机“证明”，还是采用的与坎泊同样的着色法，都是采用了坎泊所创造的颜色交换技术，来证明图的不可免构形集中的所有构形是否都是可约的。所以有必要对着色法证明中的有些问题再说一说。
坎泊首先提出了构形的概念，并提出了由四种构形组成地图的不可避免构形集是｛一国与两国相邻的构形，一国与三国相邻的构形，一国与四国相邻的构形，一国与五国相邻的构形｝，在证明过程中均认为只有构形的“中心国”未着色，其他的“外围国”均已着上了四种颜色之一，且符合着色要求。这个“中心国”在地图的对偶图中，就是轮的中心顶点，也是形构形的“待着色顶点”。
R•柯朗在他的《什么是数学》一书中说，富兰克林指出：“一个构形是指，地图中的一组连结着的区域，以及关于每个区域外边有多少个区域和它相邻的信息。”“一般来说，给定一个构形，我们考虑：包含它的任意一个地图，如果只要把这个构形缩小后得到的地图能用四种颜色上色，这个地图就也能用四种颜色上色，我们称这样的构形为可约的。”书中还说：对于图的不可免构形集合，富兰克林指出：“不可避免的意思是指，任何一个地图——不仅是最小正规地图——都必须包含这个集合中的一个构形。开姆玻相当成功的做到了这一点，他正确的证明了，集合{三角形，四边形，五边形}是一个不可免集合。”
阿贝尔在他的《四色地图问题的解决》一文中也说：“用对偶图的语言来说，一个构形乃是一个三角剖分的一部分，由一个顶点再加上连结诸顶点的所有的棱组成。与这个构形相邻的那些顶点以及连结它们的棱组成的边缘回路，称为该构形的圈（对偶图中的圈相当于原地图中包围该构形的国家组成的圈）。构形经常用它的圈的长度来说明：例如，圈长为6的构形就是边缘回路正好是有六个顶点的构形。”仅管如此，可是贝尔仍然是采用了1940年Wernicke提出用有两个待着色顶点的（5，5）和（5，6）来代替5—轮构形的做法，以致使他们的不可免构形集中的各构形都是多待着色顶点的构形，这是阿贝尔证明中的一个矛盾的地方。
这样看来，只要证明了图的不可免构形集合中的所有构形都是可约的，四色猜测就可得到证明是正确的。从富兰克林的关于构形的定义中可以看出，构形是一组连接着的区域和关于每个区域外边有多少个区域和它相邻的信息。可以看出，对于地图的对偶图来说，构形就是轮，轮的中心顶点就是待着色顶点，且只有一个。一个构形不可能有多个待着色顶点。
33、（5，5）和（5，6）都不是构形：
爱好者对赫渥特图进行可4—着色是在1990年前后的事，而阿贝尔用机器“证明”四色猜测则是早在1976年的事。那时，大家还都认为5—轮构形还没有得到证明是否可约，阿贝尔的“证明”就采用了1940年Wernicke提出的，用（5，5）和（5，6）这两个分别有两个待着色顶点的所谓“构形”（如图27）来代替5—轮构形的办法，把矛盾绕开了，避开了5—轮构形这个难以解决的问题。

阿贝尔虽然用所谓的“放电理论”、“电荷转移”理论“产生”和“证明”了（5，5）和（5，6）“构形”是“不可免”的，但却没有看到证明中又是如何通过证明而得出了（5，5）和（5，6）“构形”是“不可约”的结论的。这是一个矛盾，而正好说明了四色猜测是不正确的。这也不符合阿贝尔所说的“由这个手绪（指“电荷转移”手绪——笔者注）标志出来的构形必定成为一个不可避免集，如果这些构形也是可约的，那么四色猜测也就得到了证明。”的初衷。而得到的却是“这个去荷手续产生的不可避免集由两个构形组成：一个5度顶点，由一条棱同另一个5度顶点相连，以及一个5度顶点，由一条棱同一个6度顶点相连。这些构形不是可约的。”的结论。
    用这两个“构形”代替5—轮构形的目的不就是为了说明5—轮构形是可约的吗。既然已证明这两个“构形”是不可约的，为什么不得出四色猜测是不正确的结论呢。你还硬要用它来代替5—轮构形是为了什么呢。阿贝尔费了那么大的劲，用了所谓的“放电理论”和“电荷转移”理论，却得到了这样一个与其目的正好相反的结论，实在是没有必要的。我认为，按富兰克林对构形所下的定义看，（5，5）和（5，6）都不是构形，因为他们不是轮，而且有多个待着色顶点。既然不是构形，当然也就不是不可免的了。
阿贝尔把物理学中的“放电理论”“电荷转移”理论用在这里完全是在硬凑合，是错误的。有关阿贝尔是如何使用“放电理论”，“电荷转移”理论“产生”和“证明”了（5，5）和（5，6）“构形”是“不可免”的，但却又得出了（5，5）和（5，6）“构形”是“不可约”的结论，请见阿贝尔的《四色地图问题的解决》一文。

34、5—轮构形是不能用别的构形代替的：
5—轮构形或一国与五国相邻的构形，是平面图或地图的不可免构形之一，是经过了严密的数学证明过了的，是千真万确的。解决四色问题，必须要证明5—轮构形或一国与五国相邻的构形是“可约”还是“不可约”的问题。5—轮构形是不能用别的所谓“构形”来代替的。
图的着色，一定是一个一个的顶点去着的。当你把（5，5）和（5，6）中的一个5—度顶点着上颜色时，（5，5）和（5，6）分别就只剩下了一个5—度顶点和一个6—度顶点。6—度顶点与其相邻顶点构成了6—轮构形，而6—轮构形已不再是平面图的不可免构形了，不需要再去证明它了；但那个5—度顶点与其相邻的顶点构成的仍是一个5—轮构形，正好还是平面图的不可免构形之一——5—轮构形。不想办法证明5—轮构形是否可约能行吗。所以说用（5，5）和（5，6）或别的“构形”来代替5—轮构形都是错误的。
35、一个构形只能有一个待着色顶点：
由于1940年Wernicke提出用有两个待着色顶点的（5，5）和（5，6）来代替5—轮构形后，构形的定义也就随之有所改变。在王树禾先生的《图论》一书中说：“平面三角剖分的某个圈中的顶导出子图称为一个构形（configuration），包围此构形的圈称为构形的围栏，围栏上的顶数称为围栏长。”接下来王先生说，2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形，5—轮构形的待着色顶点均由一个顶点组成，“其围栏的长分别是2，3，4，5”；而说他在书中所画的图5.13的那个“构形”中的待着色顶点是由“7”个顶点组成的，“其围栏长为12”。
这个构形的定义显然与坎泊、富兰克林给出的定义相距甚大。把“轮”扩大到了“顶导出子图”，把待着色顶点由1个扩大到了“若干个”，把围栏顶点由“轮沿顶点”扩大到了“圈”。这样的扩大，使得把一个构形只有1个待着色顶点，扩大到了可以是“无穷”多个。因为“若干个”可以认为是有限个，但它却没有上限，所以也可以认为是无限个。这样以来，构形中的待着色顶点就可以有无穷多个，当然构形也就至少也有无穷多个。在这无穷多的构形中，有那些构形是平面图的不可免构形呢，不可免构形中的待着色顶点数最大的上限又是多少呢，有谁能证明得了呢。
在给这众多的，以至无穷的待着色顶点着色时，也总得一个一个顶点的着，最后还总是要遇到给5—轮的中心顶点的着色问题，不仍然是一个证明5—轮构形是否可约的问题吗。这不是又返回到未用（5，5）和（5，6）代替5—轮构形之前，构形中只有一个待着色顶点的情况了吗。如果要把那有无穷多个待着色顶点，且有无穷多个不可免的构形都一一证明是否可约，这不是又把一个本来是有穷的问题（只需要证明6个不可免的构形是可约）又推到无穷去了吗。
正是由于以上的原因，我仍然认为平面图中，构形的概念就是坎泊构形的概念——“一国与几国相邻”的“对偶图”——“轮”的概念，平面图的不可免构形集中只有0—轮构形，1—轮构形，2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形和5—轮构形，共六种构形。每个构形中只有一个待着色顶点，而不能有多个待着色顶点，更不可能是无穷多的。
所以我认为阿贝尔用有两个待着色顶点的所谓（5，5）和（5，6）“构形”来代替5—轮构形是错误的。
36、关于“子构形”的问题：
以上我们讲到平面图的不可免构形共有六种，都是轮形构形。这些构形在未着色时，只是一个普通的轮，是一个单独的图，或者是图中的分子图。但在进行着色时，同样还是轮，意义就不一样了。轮中心顶点就成了待着色顶点（未着色），而轮沿顶点就是围栏顶点（已着色）。为了解决待着色顶点的着色问题，不但要看到围栏顶点的已着颜色，还要看到围栏顶点以外的顶点的已着颜色与围栏顶点已着颜色的关系。比如，对于轮沿的两对角顶点来说，有没有连通链，有几条，两连通链有没有共同起始顶点，两连通链中途相交叉与否，构形中有没有环形链等等。所以，同样是一个轮构形，因其围栏顶点及其以外顶点的着色不同，可以有不同的类型，这些不同类形的构形，我们可以叫它为“子构形”。
0—轮构形（K1团），1—轮构形（K2团），2—轮构形（K3团），3—轮构形（K4团），因其围栏顶点数都小于4，所以占用颜色数一定是不会达到4的，也一定至少还有一种颜色，可以给待着色顶点着上的；而4—轮构形和5—轮构形，因其围栏顶点数大于等于4，占用颜色数可能小于4，也可能会等于4。小于4时，待着色顶点还至少有一种颜色可着；等于4时，就得看构形是属于那一类型，即看是什么样的子构形，对症下药，用解决各种子构形的交换办法，去给待着色顶点进行着色。比如，以上我们给赫渥特图的着色，给米勒图的着色，以及给与赫渥特构形可以相互转化的半赫渥特构形的着色，给普通的5—轮构形的着色等等，都是用对各子构形的单独的着色方法进行的。
37、关于图的不可免集的大小问题：
关于地图和平面图的不可免集的大小问题，我在前面的的13中已经给了出来，即对地图来说是｛一国与零国相邻的构形，一国与一国相邻的构形，一国与两国相邻的构形，一国与三国相邻的构形，一国与四国相邻的构形，一国与五国相邻的构形｝，而对于平面图来说则是｛0—轮构形，1—轮构形，2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形，5—轮构形｝，两个集合都只有六个元素（见前面的图3和图4）。并且都是可以进行严密证明的。
而阿贝尔所给出的不可免集则有近2000个元素，仅管罗伯逊对其进行了缩小，也还有633个，但他们都并没有证明，也没有说明这就是平面图的不可免集，而是把它叫做“可约构形的不可免集”。阿贝尔在他的《四色地图问题的解决》中说：“1976年6月，我们完成了构造可构形的不可免集的工作。”我认为，这个用语是不确切的，只能说明他们的集合是由“可约的”“不可免构形”构成的，并不能说明他们的“构形集”就包括了全部的不可免构形。那么还有没有不可约的不可免构形呢，他们并没有回答。他们既已明确的说了（5，5）和（5，6）“构形”既是“不可免”的又是“不可约”的，当然也就不能再明确回答这一问题了。我认为他们的这近2000个所谓“构形”，只不过是近2000个平面图而已，并不是平面图的不可免构形集。

38、阿贝尔只是对2000个图进行了可4—着色的验证：
阿贝尔的近2000个图或构形，不管它是用什么方法得来的，总之都肯定是平面图，他说这些图都是可4—着色的（可约的），这一点也是不用怀疑的。因为人是会给图着色的，计算机只是完全按人的方法去给那些图着色的，且一点也不会走样。R•柯朗说过：“1976年1月，他们（指阿贝尔们——笔者注）开始构造一个大约有2000个区域（这里用“区域”或译成“区域”都可能是不妥的，似乎应该用“构形”更合适些——笔者注）的不可避免集。这一工作在1976年6月完成。然后他们检验这个集合中每一个构形是否可约，这时必须要用计算机。”这里柯朗所说的是用计算机对2000个图进行“检验”，看其是否可约。他们即就是“检验”了这个集合中的每一个构形都是可约的，但这只有2000个图的构形都是可4—着色的又能说明什么问题呢。除了这2000个以外，还有没有不能4—着色的平面图呢，谁又能保证呢。对“这么多”的图进行了4—着色与我们平时对“几个”图进行的4—着色又有什么两样呢，不也只是对“个别”的图进行了4—着色的“验证”吗。不能认为对大量的图进行了4—着色的验证，就说明四色猜测是正确的。证明四色猜测是否正确，不能因对大量的图进行了4—着色就说明四色猜测是正确的。阿贝尔的所谓“证明”只能叫做“验证”，不能叫做证明。否则，真的要对“数学证明”一词进行重新的定义了。
39、阿贝尔“证明”的结论含乎不清：
由于阿贝尔的“证明”中存在着以上我们在30到37中讲的那些矛盾和问题，所以阿贝尔对其“证明”的最终结果所下的结论也是非常含乎的，使人看了后感到，不能说明四色猜测道底是正确还是不正确。阿贝尔在他的《四色地图问题的解决》（这个论文标题也是不明显的）一文的开头说：“1976年，我们解决了四色问题。……我们的证明前无古人的使用了计算机，……证明的正确性不靠计算机是无法检验的。”在该文的结尾又说：“1976年6月，我们完成了构造可约构形的不可免集的工作；四色定理得到证明。”这里的“解决”、“得到”、“证明”的结论是什么，没有一个明确的说法。你们可以随便的去理解吧。
你们认为四色猜测得到证明是正确的，这是我阿贝尔的功劳；你们认为这不能说明四色猜测是正还是不正确，可我们本来就没有说我阿贝尔证明了四色猜测是正确的。两全齐美。由于阿贝尔他们使用了计算机，给四色问题这个难题本身就更加披上了一件神秘的外衣，所以数学界都在盲目的跟着说，人一辈子解决不了的四色猜测问题，计算机问世以后便很快得到了证明是正确的。真的计算机比人还聪明吗？
40、世间只有人是最聪明的：
首先要肯定的是计算机是人的智慧创造出来的，只是一种计算工具，且完全是在人的指挥下，一点也不会偏离的、按人的意志去工作的。只有人会做的事，他也才能代替人去完成，而人还不会做的事，它也是绝对不会代替人去做的。因为人自已不会做的事，该如何去做，人本身都不知道，当然也就编写不出做该事的程序来，那么该用什么叫计算机去执行呢。
还是R•柯朗说得准确些：“1976年1月，他们（指阿贝尔们——笔者注）开始构造一个大约有2000个区域（这里用“区域”或译成“区域”都可能是不妥的，似乎应该用“构形”更合适些——笔者注）的不可避免集。这一工作在1976年6月完成。然后他们检验这个集合中每一个构形是否可约，这时必须要用计算机。对哈肯和阿佩尔给出的这不可避免集合中的2000多个构形，计算机尽职地报告出，每一个都是可约的。”这里柯朗所说的是用计算机对2000个图进行“检验”，看其是否可约。至于这2000个图是怎么得来的，我们先不说它，总之是计算机对他的2000个图进行了4—着色。
柯朗在这里还用了一个“尽职地”一词，说明了计算机完全是按人给其输入的程序一点也不偏离的对这2000个图进行着色的。只所以计算机能对平面图进行4—着色，就是因为人会对图进行着色，才能编出程序来叫计算机去执行。世间只有人是最聪明的，人可以创造计算机，而计算机是不能代替人脑的思维的。计算机是决不会对任何命题进行证明的，它只会做人会做的事，而不会做人还不会做的事。
41、把物理学中的“放电理论”和“电荷转移”理论用在图论中是不合适的：
上面的38中我们已经说了，由于阿贝尔他们使用了计算机，给四色问题这个难题本身就更加披上了一件神秘的外衣，而他们又把物理学中的“放电理论”和“电荷转移”理论用到了“产生”和“证明”不可免构形的过程中，就更加使四色问题神秘化了。
阿贝尔说：“如果对于每个k度顶点（即是有k个邻国），我们给它一个荷数6－k，那么度数大于6的顶点（称为主要顶点）就得到负的荷数，只有5度顶点才有正荷数。从肯普的工作可见，任何三角剖分的所有荷数之和正好是12。”这就是我们在前面14中证明地图的不可免集时得到的公式∑（6－i）fi＝12。接着阿贝尔又说：“12这个具体的和数并不很重要。非常重要的是：对于每一个三角剖分而言，这个荷数和是正的。”阿贝尔画了一个图9，是一个所有顶点的度都大于等于5的图，来说明公式∑（6－i）fi＝12是正确的。并再一次定义了“一个顶点的‘荷数’定义为6减去该顶点的度数。”又说：“不难证明；任何地图的总荷数都等于12。这个事实蕴涵：我们证明四色定理时所涉及的每个平面三角剖分中均存在正荷数顶点。”从字面上看，这些还都是能够理解的。
阿贝尔接着说：“现在假设，这样一个三角剖分中的所有荷数被重新分配，但是搬来搬去并不丢掉或增加整个系统的荷数。特别是，假定正荷数从某些正荷（5度）搬到某些负荷（主要）顶点。这些运算肯定不可能改变荷数的（正）和数，但是具有正荷数的顶点却可能改变；例如某些5度顶点可能失掉正荷数（成为去荷顶点），而某些主要顶点却可能取得这样多的荷数，结果它们具有正荷数（成为超荷顶点）。不同的顶点按照所选的去荷手续或重新分配手续而成为去荷顶点或超荷顶点。”“在证明四色定理时，这种对正荷数顶点去荷的目的是要找出一手续，恰当的说明如何移动荷数，以保证在产生的构形中每个正荷数顶点要么属于一个可约构形，要么与之相邻。”这也都是能够理解的。但下面紧接着的“由于由这个手续标志出来的构形必定成为一个不可避免集”就不能够理解了，没有说出为什么嘛。即就是“电荷转移”可以用到图论中来，又怎么能保证“由这个手续标志出来的构形必定成为一个不可避免集”呢。
阿贝尔说：“从每一个5度顶点转移1/5单位的荷数到它的每个主要邻国。相应的不可避免集由两个构形组成：一个是一对5度顶点，由一条棱连接起来；另一个是一个5度顶点，由一条棱连接到一个6度顶点。”这就是上面说的“产生的构形中每个正荷数顶点要么属于一个可约构形，要么与之相邻。”的情况。“这些构形得到如下：一个5度顶点在这个手续终了时具有正荷数，它至少有一个邻国不是主要邻国，所以这个顶点必定保留正荷数；这个顶点或者有一个5度邻国（相应于不可避免集中第一个构形的情况），或者有一个6度邻国（第二个构形）。”“一个6度顶点原来的荷数是0，因而不能接收任何荷数。一个7度顶点在手续终了时具有正荷数，它必须至少有六个邻国都是5度顶点；如果它至少有六个这样的邻国，其中必有两个由一条棱连接起来（不可避免集的第一个构形）。一个8度或更高度的顶点结果不可能具有正荷数，即使它所有的邻国都是5度顶。检查一个8度顶点就可以明白这种情况：它的原荷数是－2，而它能接收的最大正荷数是1/5的8倍，即1又3/5。”仍不能抵销2个负荷数。“于是，这两个（不可约）构形构成一个不可避免集，即是，由于这些计算适用于任何平面三角剖分（任何顶点的度数不小于5），所以每个这样的平面三角剖分都含有这个不可避免集的两个构形之一。”
阿贝尔在这里所说的两个构形就是（5，5）和（5，6）。可他虽然用“电荷转移”理论“产生”了两个所谓的不可免构形（5，5）和（5，6），但却没有看到他是如何证明其是否可约的，而只看到他得出的结论是：该两个构形是不可约的。那么请问：已有两个不可免的构形是不可约的，还能说明四色猜测是正确的吗。能说明你用（5，5）和（5，6）来代替5—轮构形是正确的吗。
从R•柯朗以下的话中，我们可以知道阿贝尔得到他的平面图的不可免集和对他的不可免集中构形的“验证”是分两走的，但都是在计算机上完成的。柯朗说：“1975年，他们（指阿贝尔们——笔者注）设计的程序从搜索状态开始，向目标发起最后的冲击。1976年1月，他们开始构造一个大约有2000个区域（这里用“区域”或译成“区域”都可能是不妥的，似乎应该用“构形”更合适些——笔者注）的不可避免集。这一工作在1976年6月完成。然后他们检验这个集合中每一个构形是否可约，这时必须要用计算机。对哈肯和阿佩尔给出的这不可避免集合中的2000多个构形，计算机尽职地报告出，每一个都是可约的。”这里柯朗所说的是用计算机对2000个图进行“检验”，看其是否可约，而不是“证明”。
至于一个5—度顶点，为什么一次只转移1/5的电荷，阿贝尔并没有说。可阿贝尔又说：“如果修改去荷手续，从每个正荷数顶点转移1/3单位的荷数给它的每个负荷数邻国，就会产生稍好一些的集合。如果转移1/2单位的荷数，则所产生的集合接近于作者的去荷手续的早期说法所产生的集合。”为什么要改修，为什么每次转移的电荷要改成1/3或1/2，都没有讲清楚。且“产生稍好一些的集合”是什么，“去荷手续的早期说法所产生的集合”又是什么，也都没有说清楚。
在王树禾先生的《图论》一书中，有一个用“电荷转移”理论证明（5，5）和（5，6）是不可免集的证明。其在2004年的第一版中说，当顶点度是k≥7的主要顶点时，“这种k次顶所获电荷最多为k/5”，由于其后的公式推导有错误，读者提了出来；所以在2009年的第二版中却改变成了“这种k次顶所获电荷最多为k/10”。对于这样一个很严肃的和科学问题，难道说想改就改了吗。
明明阿贝尔已经说了“对于每一个三角剖分而言，这个荷数和是正的。”且“一个三角剖分中的所有荷数被重新分配，但是搬来搬去并不丢掉或增加整个系统的荷数。”“这些运算肯定不可能改变荷数的（正）和数，但是具有正荷数的顶点却可能改变”。可王先生书中却以某些k≥7的顶点的荷数小0，推得整个三角剖分系统中的“总电荷量是负的，不是12。”为由，莫名奇妙的得出“（5，5）和（5，6）是不可避免集”。为什么整个三角剖分系统的“总电荷量”“不是12”，就是不可避免集呢，王树禾先生却并没有提及任何一字。难道不进行“电荷转移”，三角剖分中的k≥7的顶点原来的电荷数不就都是小于0的吗，为什么不直接说这个三角剖分也就是不可免集呢。这是不能叫人信服的，也不能不叫人对在图论中，在着色中，在证明四色猜测中，在寻找不可免集中，在证明构形是否可约中引用物理学中的“放电理论”和“电荷转移”理论有很大的怀疑，是否能行得通的问题。
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雷  明
二○一七年二月二十一日于长安

注：此文已于二○一七年二月二十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：