小于M^2的素数个数的无误差计算方法

wesmond

公元前250年左右，古希腊人埃拉托塞尼创造了一种筛法用来寻找素数：要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要 在2、3、4、5…N中将不大于 根号N素数的倍数划去便可得到小于N的所有素数。有没有其它的、更简洁的方法可以得到小于某个值的所有素数，并且可以计算精确的素数数量？这就是本文所讨论的，她是由 初等数论中基 本性质推导出来，过程并不复杂。可以解决 素 数分布中的“数量问题”。几年前我曾经在网上发表过的拆分合并消除法，成功的证明了从M^2- M^2+M之间最少有一个素数，她还可以推导出“小于M^2 的素数个数0误差计算方法”。虽然现在还比较复杂，并且还有很大的简化空间。有人说她是改进了的筛法！她能把素数的结构及生成规律很抽像的展现出来。

分解合并对比消除法 （是这个计算方法的理论基础）

对比两个数列 ，它们的项数是一样的

（1） 1、2、3、4、5、6、7………M

（2）M^2 +1、 M^2 +2、 M^2 +3、 M^2 +4、M^2 +5、……M^2 +M

将两数列同时进行素因子分解，然后进行比较合并消除。

数列1可以分解成数列 A

2*1、2*2、2*3、2*4………2*M/2

3*1、3*2、3*3、3*4………3*M/3

5*1、5*2、5*3、5*4………5*M/5

………

p*1、p*2、p*3、p*4………p*M/p

数列2的合数可以分解成为数列 B

2(a+1)、2(a +2)、 2(a +3)……2(a +M/2) 或2(a+M/2+1)

3(b+1) 、3(b+2) 、3(b+3) 、2(b+M/3) 或2(b+M/3+1)

5(c+1) 、5(c+2)、 5(c+3)……5(c+M/5) 或5(c+M/5+1)

………

p(n+1) 、p(n+2)、 p(n+3)……p(n+M/p) 或p(n+M/p+1)

（p为小于或等于M的素因子，M/P取整数，余数不计）

不难看出，数例A跟数例B的数量差是数例B中的加一项。根据连续自然 数的性质，如数例1和数例2 中 ，每连续的6个数，2素因子跟3素因子必合并消除一次，如此类推将数列A与B同时进行合并分别还原成数列1 、2 ， 数例A中 每 消 除 一 项，数例B中必定也会跟着消除一项，当数例A消除还原到数例1时，数例B消除到最后如果将加1 项也能完全消除，由于数例B比数 例 1 少一个“1”，就能够证明“M^2到 M^2+M中至少有一个素数”。并可以推导出“还原后的数列1跟数列B之差就是M^2到 M^2+M中的所有素数”。

而且容易证明数列2的p(n+1) 、p(n+2)、 p(n+3)……p(n+M/p+1)项与其它数列的合并消除之后的项小于或者等于数列1的p*1、p*2、p*3……p(M/p)项.

证明：

因为数列2的所有含P素因子项数是M/p+1项，那么多出的这一项可表示为P(M/p+1)*C,因为P(M/p+1)是大于M的，那C必定是一个含有小于或者等于M的非P素因子项，加1项也被消除掉了。

得证：

那么M^2到 M^2+M之间至少有一个素数。杰波夫猜想得证了。合并之后数例2与数例1之差就是M^2到 M^2+M之间另外全部素数，另外可以推导出一个素数的计算公式,小于M2的素数个数是：

                     P(M^2)=（2M-1）+合并差之和 - 加一项之和

将1^2到10^2 的所有数按下图排列，并每行进行分拆对比消除，就会得到小于10^2的所有素数数量

试求小于100的素数个数。

零误差的素数计算方法

旁边的数字是加一项，红色数字是两素因子合并多的项，增加因素+1，深红色的数字是三素因子合并多的项，增加因素+2。

如在10、11、12中，比1、2、3中 2*3*2多合并了一次，所以合并之差的增加因素+1。2素因子在10和12中出现了共两次，比1、2、3中多了一个，所以减少因数加一项-1.所以素数个数是1。在37、38、39、40、41、42与1、2、3、4、5、6分拆合并消除的对比后，2*5*4的合并项是多出来的，但是因为没有减少因素，所以这里出现了两个素数37跟41.在57、58、59、60、61、 62、63、64与1、2、3、4、5、6、7、8分拆合并消除的对比后，6*5*2是增加因素+1，3*7*11增加因素+1。3素因子多了一项，加一项-1,得出两个素数59，61.如此类推，得出

小于10^2的增加项共有

2*3*2=12   2*3*3=18   2*3*4=24    2*3*5=30

2*5*4=40   2*5*5=50   2*5*6=60    2*5*7=70  2*5*8=80  2*5*9=90

2*7*4=56   2*7*5=70   2*7*6=84    2*7*7=98

3*5*2=30   3*5*3=45   3*5*5=75  

3*7*3=63                     2*3*9=72   2*3*15=90

共计20项                                                                                减少项共计有13项。

小于100的素数个数为P(10^2)=2(10-1)+20-13=25个。

按这种方法逐级上推直到无限大，得出的值与实际完全一致。

如果有不同意见，欢迎共同探讨！

wesmond

连续自然数的性质这里，并没有写得很详细，但这个确实很重要，欧几里得有两个连续自然数必互素就证明了素数无穷，如果深究还有很大作用，但很多人都忽略了这个，也许可以将这个方法完全公式化。

白新岭

这与容斥原理有什么区别

wesmond

容斥原理只是一种数学工具，我也会用到。别人的理论基础是筛法，我这个理论基础是逐级对比消除，这就是区别。所以得到的结果是不一样的。

wesmond

白新岭 发表于 2019-3-30 11:41
这与容斥原理有什么区别

我这个方法可以证明小于M^2 的素数个数下界是2M-1,筛法却无法做到。

wesmond

这个方法得到的结果与素数分布的实际规律是一致的，但是这种规律一直无法进行量化。本人尝试了很多方法，特别是第二项合并差之和公式化结果会让计算方法变得很复杂，并会产生误差。

wesmond

放在这里那么多天了，不管怎么说也是一项重要发现吧，各位大神就没人来拍砖查错的吗？好让本人改进！