a,b 为整数，方程 x^2+ax+18=0 与 x^2-ax+b=0 有一个共同的质数根，求 b 的最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题 a,b 为整数，方程 x^2+ax+18=0 与 x^2-ax+b=0 有一个共同的质数根，求 b 的最小值。

解  设两个方程共同的质数根为 p 。

    设方程 x^2+ax+18=0 除 p 以外另一个根为 q ，由 Viete（韦达）定理可知有

         p + q = -a  （1）    pq = 18 （2）

    设方程 x^2-ax+b=0 除 p 以外另一个根为 r ，由 Viete（韦达）定理可知有

         p + r = a  （3）    pr = b （4）

    由（2）可知质数 p 是 18 的因子，这只有两种可能：或者 p = 2 ，或者 p = 3 。

    如果 p = 2 ，则 q = 18/p = 18/2 = 9 。-a = p + q = 2 + 9 = 11 。a = -11 。

    r = a - p = -11 - 2 = -13 。 b = pr = 2×(-13) = -26 。

    如果 p = 3 ，则 q = 18/p = 18/3 = 6 。-a = p + q = 3 + 6 = 9 。a = -9 。

    r = a - p = -9 - 3 = -12 。 b = pr = 3×(-12) = -36 。

    因为 -36＜-26 ，所以，b 的最小值是 -36 。

angel_phoenix99

简化解法(不需要判断a，b的实际取值)
根据18的唯一质因子分解18=2*(3^2)
共同质数解只能是2或3(1)
设共同质数解为t
则2t^2+b+18=0(2)(两个方程相加，消除和a的关联)
在t>0时，b为递减函数
很显然b最小值为-36

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix99 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。