已知 a,b,c＞0 ，1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)=1 ，求证：a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c)

195912

题 : 已知 a,b,c＞0 ，1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)=1 ，
求证：a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c)
证明 : 设
            1/(a+1) = x ,1/(b+1) =y , 1/(c+1) = z
则
             a = 1/x - 1 , b = 1/y - 1 , c = 1/z - 1 , x , y , z ∈ ( 0 , 1 )
且            
             x + y + z = 1                ( 1 )
因为
               f (1/3) = 1/x + 4/(x-1) + 3  = 0 ,
所以
               1/x + 4/( x - 1 ) + 3 ≥ -K1( 3x - 1) , 其中 , x ∈ ( 0 , 1 ) , K1 ∈ Z      ( 2 )
令
                x=y
则
               1/y + 4/( y - 1 ) + 3 ≥ -K2( 3y - 1 ) , 其中 , y ∈ ( 0 , 1 ) , K2 ∈ Z      ( 3 )
令
                x=z
则
               1/z + 4/( z - 1 ) + 3 ≥ -K3( 3z - 1 ) , 其中 , z ∈ ( 0 , 1 ) , K3 ∈ Z      ( 4 )
根据—次函数的性质，若
               z ≤ y ≤ x
则
               - K3 ≥ - K2 ≥ - K1
这样，对
                   a+b+c - 4(1/a+1/b+1/c)
              =[1/x + 4/(x-1) + 3] + [1/y + 4/(y-1) + 3] + [1/z + 4/(z-1) + 3 ]
根据 ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) ,( 4 )式，有
               [1/x + 4/(x-1) + 3] + [1/y + 4/(y-1) + 3] + [1/z + 4/(z-1) + 3 ]
             ≥ - K1( 3x - 1) + [- K2( 3y - 1)] + [- K3( 3z - 1)]
             ≥ - K1[3(x + y+ z )- 3 ]
             = 0
所以
             a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c) .
注 : 本帖题目来源于 luyuanhong 在 www.mathchina.com 的转帖。

195912

题 : 已知 a,b,c＞0 ，1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)=1 ，
求证：a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c)
证明 : 设
            1/(a+1) = x ,1/(b+1) =y , 1/(c+1) = z
则
             a = 1/x - 1 , b = 1/y - 1 , c = 1/z - 1 , x , y , z ∈ ( 0 , 1 )
且            
             x + y + z = 1                ( 1 )

显然
               f(x)=1/x + 4/( x - 1 ) + 3 = [(x+1)/x(x-1)]( 3x - 1) , 其中 , x ∈ ( 0 , 1 ) ,       ( 2 )
令
                x=y
则
               1/y + 4/( y - 1 ) + 3 = [(y+1)/y(y-1)] ( 3y - 1 ) , 其中 , y ∈ ( 0 , 1 ) ,       ( 3 )
令
                x=z
则
               1/z + 4/( z - 1 ) + 3 ≥ [(z+1)/z(z-1)]( 3z - 1 ) , 其中 , z ∈ ( 0 , 1 ) ,      ( 4 )
不失一般，恒有
               [(z+1)/z(z-1) ≥ [(y+1)/y(y-1)] ≥ [(x+1)/x(x-1)]
这样，对
                   a+b+c - 4(1/a+1/b+1/c)
              =[1/x + 4/(x-1) + 3] + [1/y + 4/(y-1) + 3] + [1/z + 4/(z-1) + 3 ]
根据 ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) ,( 4 )式，有
               [1/x + 4/(x-1) + 3] + [1/y + 4/(y-1) + 3] + [1/z + 4/(z-1) + 3 ]
             =[(x+1)/x(x-1)]( 3x - 1)+[(y+1)/y(y-1)] ( 3y - 1 ) + [(z+1)/z(z-1)]( 3z - 1 )
             ≥[(x+1)/x(x-1)][3(x + y+ z )- 3 ]
             = 0
所以
             a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c) .

luyuanhong

谢谢楼上 195912 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

195912

luyuanhong先生:
         昨晚因故来不及整理，对2楼的证明，做了如下修改
原文
"若
         z ≤ y ≤ x
则"
        修改为
"不失一般，恒有 "
        当否？盼指教。

luyuanhong

195912 发表于 2017-3-5 09:44
luyuanhong先生:
         昨晚因故来不及整理，对2楼的证明，做了如下修改
原文

我已在 “陆老师的《数学中国》园地” 中对楼上 195912 的帖子作了相应的修改。