比尔猜想及费马大定理

费尔马1

比尔猜想与费马大定理
山东省兰陵县磨山镇华岩寺二村 程中战 程中永

比尔猜想命题：
  表述一： 如果a^x+b^y=c^z，其中a、b、c、x、y、z均为正整数，且x、y、z都大于2，那么a、b、c一定有共同的质因数；
  表述二：若a、b、c均为正整数且整体互素，那么方程a^x+b^y=c^z没有x、y、z都大于2的正整数解。
下面用“平方坐底压缩法”来证明：
   公理1：若a^p*b^q=d^r，则d必含a、b的质因数；
   公理2：若d与a、b（或二者之一）互质，则a^p*b^q ≠d^r
（a、b、d、p、q、r均为正整数）
设a、b、c两两互质（必然各不相等），把c^z看成是一个柱体，其底面积为c^2，高为c^(z-2)，即c^z=c^2*c^(z-2)，将c^z压缩（或拉伸或不动），使c^z=（a^2+b^2）h，其中a^2+b^2为底面积，h为高。
欲使c^z=a^x+b^y，将c^z压缩至h=a^(x-2)时，即先得出一项a^x，
则有c^z=（a^2+b^2）a^(x-2)，即c^z=a^x+b^2 a^(x-2)
（1）由于a≠ b，所以，b^2 a^(x-2)  ≠b^x，b^2 a^(x-2) ≠ a^x；
（2）假设b^2 a^(x-2) =b^y，据公理1可知b、a就有公因数，致使c、b、a也有公因数；
（3）假设b^2 a^(x-2) =d^y，则有c^z=a^x+d^y据公理1可知d与a必有公因数，致使c、a、d也有公因数。
因此，当a^x+b^y=c^z时，a、b、c是不能两两互质的，它们至少存在一个公共质因数。
推论1（即费马大定理）：a^n+b^n ≠c^n，其中a、b、c、n均为正整数，且n大于2。
   在比尔猜想的表达式中，当x=y=z=n时，其表达式就变为费马大定理了。在费马方程中a、b、c三个数永远是两两互质的。因为，假设a1=ka，b1=kb，c1=kc，且有a1^n+b1^n=c1^n 即k^n*a^n+k^n*b^n=k^n*c^n，两边约去k^n之后就是a^n+b^n=c^n，最终a、b、c三个数必然没有公约数。
   所以，在正整数范围内，任何一个高于二次的幂都不能等于两个同次幂之和。
推论2（即费马大定理的延伸）：a^n+b^n ≠c^r 其中，a、b、c、n、r均为正整数，且a、b、c三个数两两互质，n、r大于2。
   即在正整数范围内，两个同次幂之和不等于任何一个高于二次的幂。
推论3：c^n-a^n ≠b^r，（c＞a，c＞b，其它条件同上）。
比尔猜想数式举例：
3^6+18^3=9^4 ，   8^5+32^3=16^4 ，   65536^5+1024^8=134217728^3
262144^5+32768^6=8192^7   ，   134217728^7+2097152^9=524288^10
37784696822334654414849^3+281500747300872^5=
1073807361^8
4722366482869645213696^11+73786976294838206464^12=
=2305843009213693952^13  
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                                      2016.9.16

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老师们好

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朱明君

最难证明的是两个数的和大于第三个数即a+b>c,且a<b<c

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