纯虚数不能比较大小吗？

Ysu2008

通常是在涉及复数时才会提到纯虚数。一直以为纯虚数也能比较大小，最近偶然得知诸如i<2i之类纯虚数比较大小不成立。 纯虚数与虚数轴上的点一一对应，为什么不能比较大小呢？

luyuanhong

下面引用由Ysu2008在 2011/03/24 09:37am 发表的内容： 通常是在涉及复数时才会提到纯虚数。一直以为纯虚数也能比较大小，最近偶然得知诸如i<2i之类纯虚数比较大小不成立。 纯虚数与虚数轴上的点一一对应，为什么不能比较大小呢？

如果只限于在纯虚数（包括0）范围内比大小，那还是可以的。 例如，我们可以定义（现在数学中还没有这样的定义）： 当实数 a

Ysu2008

谢谢陆老师。 网上有一条理由是这样说的，设 i < 2i，不等式两边同乘以i：ii < 2ii ，得：-1 < -2，这样就得出一个矛盾，所以虚数不能比较大小。 我觉得这是由于把实数的运算规则直接应用到虚数范围造成的。 考察一下虚数单位的乘法运算： i·i=-1 -i·-i=-1 -i·i=1 i·-1=1 从上能知道，在纯虚数范围内，“同号相乘得负，异号相乘得正”，这与实数范围内的正负数乘法运算刚好相反。 逻辑代数有“同或”“异或”两种对偶的运算，刚好与实数、虚数各自范围内的正负数乘法规则对应。 所以我猜测，纯虚数范围内的运算规则，都与实数的运算规则对偶且相反。 比如规定：纯虚数范围内，不等式两边同乘以一个正数，不等号方向改变，同乘负数则不然。(与实数对偶) 那么，i<2i 同乘以正i变向：i·i > 2·i·i 得：-1 > -2 这就一致了。 这样理解是否有问题？