设三个不同的质数a,b,c,满足a｜(3b-c),b｜(a-c),c｜(2a-7b),20<c<80,求(a^b)c=?

195912

题:设三个不同的质数a,b,c,满足
                a｜(3b-c),b｜(a-c),c｜(2a-7b),20<c<80,
求(a^b)c=?
解 :因为
                 a｜(3b-c),b｜(a-c),c｜(2a-7b),
根据整除的定义，存在整数 x , y , z 满足
                 3b - c = ax                   ( 1 )
                 a - c = by                     ( 2 )
                 2a - 7b =cz                   ( 3 )
解方程组，得
                  7x - 2y + 1 = xyz - 3z  ( 4 )
令
                    7x - 2y + 1 = 0           ( 5 )
根据二元一次不定方程整数解定理，得
                   x = -1 -2t , y = - 3 - 7t , t ∈ Z .
由 ( 4 ) 得
                   z = 0
又 a , b , c 是三个不同的质数，且
                 20 < c < 80
由( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) 得
                a = 7 , b = 2 , c = 41
所以
               (a^b)c=( 7^2 )×41= 2009
注:本帖题目来源于 luyuanhong 在 www.mathchina.com 的转帖。

luyuanhong

谢谢楼上 195912 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。