费尔马大定理的原解

谢芝灵

     费尔马大定理的原解

   摘要：费尔马大定理，起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者 痴迷。终于在1994年被安德鲁·怀尔斯攻克。1637年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de Fremat）在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：a^n+b^n=c^n是不可能的（这里n大于2；a，b，c， n都是非零正整数)。此猜想后来就称为费尔马大定理。费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。一般公认，他当 时不可能有正确的证明.安德鲁·怀尔斯用现代数学知识,三百多页纸将其证明。费尔马大定理是一个特殊的一元n次方程。在一元n次 方程中，我们知道也能证明它有n个根。因此得到一个“根与系数唯一性定理”，从而揭开了费尔马大定理的原解，即费尔马先生自己的 解。

    关键词：n次方程 ； 根与系数唯一性 ； 费尔马大定理

    Ⅰ 方程唯一性定理：方程f（x）=0的根{x1，x2，x3，...xn}

    方程f（y）=0的根{y1，y2，y3，...yn}

    当  {x1，x2，x3，...xn}={y1，y2，y3，...yn}

    得两个方程为一个方程 f（x）=f（y），

    通俗解释：一个方程的所有根{x1，x2，x3，...xn}一确定，得这个方程是唯一的。

    即这个方程的所有系数是唯一的。

    以一元二次方程为例，一个方程两个根为 x1=a； x2=b

    另一个一元二次方程的两个根为 y1=a； y2=b

    得这两个方程为一个方程。

    证明：一次方程 x=a，另一个一次方程 y=a

    两个方程的根都为a，得 x=a和 y=a 是一个方程。

    一个二次方程f（x2）=0两个根 x1=a、x2=b ；

    一个二次方程f（y2）=0两个根 y1=a、y2=b ；

    由 （x-a）=0；（x-b ）=0 ，得 （x-a）×（x-b ）=0

    得  x^2-(a+b)x+ab=0; 同理，y^2-（a+b）y+ab=0，这两个方程为一个方程。

    就是两个方程的根相等： {x1，x2}={y1，y2}

    得到两个方程为同一个方程：{-（a+b），ab}={-（a+b），ab}  

    就是说方程的所有根确定，方程的系数常数就确定。这就是方程的唯一性。

    上面完成了数学完全归纳的第一步。

    数学完全归纳的第二步：

    一个k次方程f（xk）=0 和另一个k次方程f（yk）=0

    两个方程的根{ x1，x2，x3.，..xk}={ y1，y2，y3，...yk}

    两个方程为同一个程：{-（a+b+...p），...，±（ab...p}={-（a+b+...p），...，±(ab...p)}

    数学完全归纳的第三步：

    一个k+1次方程f（xk+1）=0 和另一个k+1次方程f（yk+1）=0

    两个方程的根{ x1，x2，x3.，..xk，xk+1}={ y1，y2，y3，...yk，yk+1}

    上面两个方程分别×（xk+1-p）和 ×（yk+1-p）后得到下面：

    两个方程为同一个程：{-（a+b+...p），...，±（ab...p}={-（a+b+...p），...，±(ab...p)}

    故，定理证毕。

    上面定理证明了两个性质：

    一，这类方程的唯一性。即所有根一确定，方程的系数和常数就是唯一的。不会出现第二个不同系数或常数的方程。

    二，证明了一次方程一个根，n次方程n个根。大家有个误解：把5次方程以上的方程没有代数方式解根法。当成5次方程以上的方程没有根。n次方程有n个根，5次方程以上的方程不能用现有的代数方法求得其根，并不代表没有。

    通俗比喻：人步行方法上不了月球。并不是说没有月球。

    Ⅱ 方程唯一性定理：两个唯一性的方程，只有系数和常数统一到整数时。才能全等。

    即 两个等价方程。只有只有系数和常数统一到整数时。才能全等。

    证明： 方程f（x）=0的根{x1，x2，x3，...xn}

    方程f（y）=0的根{y1，y2，y3，...yn}

    当  {x1，x2，x3，...xn}={y1，y2，y3，...yn}

    当其系数和常数不是整数时，即原方程f（x）可整体系数常数同时放大t倍。

    所以 两个方程的系数就不能对应相等。

    如：x^k+ax^k-1+b=0

    3x^k+3ax^k-1+3b=0

    显然 系数不对应相等。

    所以，只有系数与常数为整数才能化简到没有公因子的最简整数时。

    两方程才全等！

    即 所有系数对应相等，常数相等。



    Ⅲ.费尔马大定理：在x^k+y^k=z^k      （1）

    z＞x≥y＞0，且x、y、z均为整数，k为自然数。

    则k=1,或k=2两种情况才能满足（1）式。

    证：在（1）式中，可以规定x、y、z三个数没有大于1的公因子

    即（x、y、z）=1      如果有，它们可以约掉。

    则x、y、z两两互质，即（x、y）=(z、x)=（z、y）=1

    假设x、y有大于1的公因子a，可令：

    x=ab        y=ac        代入（1）式

    b^k+c^k=(z/a)^k               （2）   

    由于（x、y、z）=1，则上式有矛盾：即（1）式是整数=分数。

    所以（x、y）=1，同理可证（z、x）=1，（z、y）=1

    这样得到：x、y、z两两互质，且我可令x、y、z是满足（1）式最小的一组解。

    由方程唯一性定理得（1）式 z有 k个根{z1，z2，z3，...，zk}

    去掉一个根（z-x-y1=z-y-x1=0）后，由（1）式变形得2个（k-1）次方程：

  


    注意点：
（3）（4）的唯一性，
是由（1）去掉一个同根zi根（z-x-y1=z-y-x1=0）后得来的。
所以，z-x-y1=z-y-x1=0 必是唯一性的，是同一个根zi
故，只有 x，y，x1，y1是最简整数时。
才能保证z-x-y1=0；z-y-x1=0 中的zi有唯一性和全等性。
因为 zi与另一个z的根zs 有这个关系：zs=（zi）f，
即 zi-x-y1=0   ；zi-y-x1=0 就会变成：
   zi-x-y1=0   ；（zi）f-yf-（x1）f=0
就是：zi-x-y1=0   ；zs-yf-（x1）f=0
就会你认为是去掉了同一个根zi，
实际操作中会有：（1）去掉zi得到（3）；（1）去掉zs得到（4）
所以，x，y，x1，y2必须是规定最简的整数。
才能保证  zi-x-y1=0   ；zi-y-x1=0 的唯一性和全等性。
才有 （3）（4）的唯一性和全等性。

由于系数x，y和常数xn，yn都是没公因子的最简整数。

由方程唯一性得和定理Ⅱ：（3）式（4）为一个全等方程

    故有：x=y、

    由x=y，因为x、y互质，即（x,y）=1

    所以   x=y=1

    （1）式为z^k=1^k+1^k=2 得z=2，k=1与k≥3矛盾，所以有k=1或k=2。

    为什么 k=2 方程成立？

    因为 z^2-x^2=y^2,得到两个一次方程： z-x=y1；z+x=y2，

    只有常数，没系数。可以有唯一性：z=x+y1=y2-x，不矛盾。

    又，z^2-y^2=x^2  得到两个一次方程： z-y=x1；z+y=x2，

    只有常数，没系数。可以有唯一性：z=y+x1=x2-y，不矛盾。

    即 z=y+x1=x2-y=x+y1=y2-x，不矛盾。

   

    大定理证毕！
你还不能理解非整数的不确定性。
我可把非实数划规到统一标准上。
我就用一简单的证明：

谢芝灵

@朱明君  见1#后部分

谢芝灵