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数学基础理论中的两个缺陷
欧 阳 耿
(漳州师院，福建，363000)
摘要：从和以往科学工作者不同的思路，讨论了芝诺悖论所揭示的与“无穷”概念相关的数学基础理论中所存在的两大缺陷。指出第二次数学危机，第三次数学危机都是芝诺悖论的翻版。2500多年来，人们解决芝诺悖论的思路是错误的，如不改变现状，人类将永远无法解决芝诺悖论。并且，每隔一段时间，数学中就会出现某些芝诺悖论的翻版，使数学中出现各种不同规模的、与“无穷”概念相关的数学危机。
关键词：芝诺悖论，翻版，基础，数学危机，无穷理论体系，数谱。
中图分类号：O11 文献标识码：A
一、导言
约公元前465年，埃利亚的芝诺著述了几个与无穷概念相关的悖论，导致了西方科学界的理论危机。中国古代哲学家称悖论“饰人之心，易人之意，能胜人之口，不能服人之心”。2500多年来，无数哲学家与数学家努力奋斗，力图解决芝诺那些与无穷概念相关的悖论，但遗憾的是芝诺悖论不仅没有得到解决，反而还不时以不同的翻版出现在数学中，固执地向与无穷概念相关的数学内容发出一次次挑战，并且目标非常清楚――直捣整座数学大厦的基础。芝诺悖论这一千古之谜是科学大厦内部基础理论缺陷的必然产物，所以在传统的基础理论体系中人们对它既无法回避又无法解决。作为科学史上，数学史上一大悬案，它确实是搅得科学家们心神不安，但到目前为止的所有努力都只能以失败告终――时间在芝诺悖论面前凝固了！贝特兰.罗索在谈及芝诺悖论时写道：“经过谨慎的解释，似有可能再现芝诺的所谓‘悖论’，它们从提出之日起直到现在一直被人们所‘驳斥’。”我们都知道，解决芝诺悖论的难处在于它不仅仅是个哲学问题，也是个数学问题，与逻辑学、认识论及数学的理论水平密切相关。但怎样完成这项工作，从何入手？
二、芝诺所著述的与无穷概念相关的悖论
芝诺这些悖论的原作没有流传下来，但亚里士多德在其书中作了记录，人们将它们整理如下[1][2]：
1、运动是不存在的：在跑完某一段距离的全程之前，竞赛者首先必须跑完这段距离的一半；在跑完全程的一半之前，又必须跑完一半的半，即全程的四分之一；在跑完全程的四分之一之前，又得跑完全程的八分之一，如此递推，以至无穷，故运动不可能。
2、阿基里斯追不上乌龟。阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛
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收稿日期：2001-02-07
作者简介：欧阳耿（1957-），男，福建漳州人，漳州师范学院副教授，从事数学悖论研究。
中，乌龟在前面跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯到达乌龟在某时所处的位置时，乌龟已向前移动一些；阿基里斯再到达乌龟的那个位置时，乌龟又往前跑了一段。因此，无论阿基里斯到达乌龟曾处的哪个位置，乌龟都会在他前面。所以，无论阿基里斯跑得多快，他永远追不上乌龟。
3、飞矢不动：如果一支箭在空中飞行，在任何一个特定的瞬间，它都会处于某个位置，占据同其尺寸相等的一部分空间，任何东西在占据一个与它本身相等的空间是静止的，处在静止状态的事物是不动的，因此，飞行中的箭就是不动的了。
4、谷种悖论：一粒谷种下落时不会发出声响，许多粒谷种（一蒲式耳）一起下落时也不会发出声响（因为任何数量的寂静总合起来也不能成为声响）。
芝诺的这些悖论显然都与人们的生活经验、共识相悖，但问题是人们无法从理论上认识它们，解释这些悖论究竟错在哪里。
据说，芝诺的一个学生曾抓来一只乌龟，让它在踞自己10步以外爬行，然后从后面追上乌龟，演示给芝诺看，想以此来证明阿基里斯完全可以追上乌龟。另一个叫爻布纳.希莫尼的学者编了一个既生动有趣、又中肯贴切的对话来评述芝诺悖论的荒谬：当一只饥饿凶猛的狮子从笼子里被放出来去追赶芝诺时，芝诺不慌不忙地一边慢跑一边告诉人家，这只狮子永远不可能跑到他身边。因为这狮子在接近他时必须跑完全程的一半，在跑完全程的一半前又必须跑完全程的四分之一，在跑完全程的四分之一前又必须跑完程的八分之一，如此类推。但在他刚说完狮子永远不能够开始这个过程的话音落下后不久，芝诺被这飞跑而至的狮子吞吃掉了。有的人认为象这样对芝诺悖论的解答是最生动、准确不过了。其实在数学上仅用现在初中生都懂的加和数列就可以轻而易举地告诉人们阿基里斯何时可追上乌龟，史料也表明芝诺当时未必不懂得这些简单的常识。但这类解答仅描述了事件的现象和结果，而芝诺要人们解答的是事件的可能性问题，要人们在理论上认识，解释整个事件。不幸的是人们在此碰到了两个令人生畏、心力交瘁的概念：“无限”及与“无限（无穷）概念相关的最小数量”。
三、芝诺悖论挑战科学理论中的无穷观
自从有了“多”与“少”的概念之后，古人经历了一个“有――多――很多――无穷多”的认识过程。人们知道科学中应该有“无穷”这个概念，从而构造了原始的无穷观，这是一种朴素的、粗糙的无穷观，仅从性质上来描述“无穷”，从宏观上来把握“无穷”这个概念，指某些事物的“大――小”，“多――少”，“长――短”等与数量相关的内容在性质上没有止境。在这种原始的无穷观中，人们将“无限”看成是一种不断延伸，永无止境的变程或进程，正如自然数列永无止境一样。人们称这种无穷观为潜无穷，恶无限或消极无限。但至少从亚里士多德那时开始（公元前300多年前），人们提出了“实无穷”概念，认为应把无穷的事物看成是一种可以自我完成的过程或无穷整体，例如把自然数全体理解为一个无穷的整体，将这种理解无穷的方式及理论叫实无穷观。实、潜无穷观各自认为自己才是最科学的无穷理论，认为自己才能最确切地描述、认识与无穷概念相关的科学内容，但问题是谁也说服不了谁。于是，如此实、潜无穷观并存构成了传统的无穷理论体系，一直沿用至今。毫无疑问：因为“无穷”，所以当然是“永无止境”；而也正因为“无穷”本来就是对一种存在事物的认识，所以当然是“某个事物――某个整体”。显然，倒是这“实――潜无穷观”之间的争论可以“无穷”地进行下去，因为两种无穷观都仅是对现实世界中的无穷事物进行宏观的，笼统的描述，理论体系本身根本没有更具体，更深入的展开。科学史也告诉我们，潜无穷观无法解决的问题实无穷观自然也无能为力[7]。2300多年来这实、潜无穷观掺合的传统的无穷理论体系除了不时产生一些无聊的，毫无结果的“实――潜无穷观论战”外，整个传统无穷理论体系的内容从古至今没有发生任何实质性变化，没得到任何实质性的充实，这必然导致科学中与“无穷”相关的难题只能一直搁在那儿，都成了些名符其实的千古之谜。这是现代人与古代人都一样对古老的芝诺悖论束手无策的根本原因。
许多人认为，实无穷理论成功的最大标志就是康托的无穷集合论。康托无疑是第一个想从定量的角度来研究无穷事物并实际动手做了一些与此相关的工作的人。“量”是数学的灵魂，数学离不开“数量”。所以康托的这一思路肯定是正确的。他看到了传统无穷理论体系中那种笼统与粗糙，只定性不定量的缺陷，他的工作使他的集合论中必然存在一些传统无穷观中所没有的或与传统无穷观念格格不入的数学内容。但遗憾的是康托没有同步建立与自己的数学操作相配套的无穷理论体系。他那与传统的潜无穷观不同的实无穷观（康托自己及别人都认为他属于实无穷论者）仅停留在一种感性的“感觉”而已――是一种看法，一种信念，一种追求。康托那些有关实无穷的“感觉”根本还没达到理论化的水平。他是这样来说服人们相信实无穷的存在：“代数学和分析学都是建立在实数基础上，而实数，特别是无理数理论的建立都离不开实无穷；基本序列和戴德金分划都假定实无穷；承认作为变量的潜无穷也必然要承认实无穷，因为变量如能取无穷多个值就要承认有一个供变量能从其中取值的论域，这个论域必然是个实无穷而且必须事先给定，不能再是变化的，这才有固定的基础。”这样一种很勉强，很无可奈何的经验式的“说教”自然很难使人心服口服（正如芝诺的学生无法用实际的人龟比赛来说明芝诺悖论的错误一样）。康托的“实无穷观”仅是一种不同于潜无穷的零碎的、朦胧的“无穷意识”根本无法与已成理论的，虽仅从定性方面描述无穷的潜无穷观相抗衡。由于康托没有建立与自己的数学行为相应的无穷理论体系，所以，他一方面无法挣脱潜无穷观的束缚，另一方面自己也无法对自己反潜无穷的数学行为提供令人满意的理论解释，无法真正认识自己某些正确的数学行为。不难想象，康托当时处于一种异常困难又矛盾的局面：为了捍卫自己那些有悖于潜无穷观的正确的数学行为，他不仅要艰难地应付来自于外界的潜无穷论者的声讨（由于他自己所具备的关于“无穷”的理论水平，使他的辩解很勉强，无法使人心服口服），也要应付来自于自己内心世界的那种根深蒂固的潜无穷观的骚扰，为自己无法从理论上认识，解释自己那些反潜无穷的数学行为感到不安与烦恼，这必使他陷入一种令人崩溃的、极可怕的混乱状态。由于康托的无穷观实际上是潜无穷观及一种“实无穷意识”的混合物，所以对康托集合论里的数学行为，数学内容有时需用潜无穷观去认识、理解，有时则需用某种连他自己也说不清楚的“实无穷意识”去认识、理解。这决定了康托集合论中必存在不少互相矛盾，稀里糊涂的内容。比如说，他仅承认无穷大数而不承认无穷小数；他用“生成原则”将某无穷内容强行切段，不管三七二十一将每个切段叫一个实无穷，硬是捏造出实无穷，稀里糊涂地为了实无穷而实无穷；他居然允许自己用对角线――反证法变魔术式地证明了实数集合的基数大于自然数集合的基数；居然用悖论中本该有的逻辑矛盾去反证康托定理 。集合论是很重要的基础学科，而“无穷理论”是集合论的基础理论，病态的基础理论导致病态的集合论 [7][8][9][10] 。
“无穷”是人类科学中的一个概念，这个高度抽象的概念被用来描述现实世界中的某类事物。而芝诺悖论及其一再翻版的数学中的难题要问的恰恰就是人类科学中的无穷理论体系该如何完成其任务。传统的实、潜无穷观加上康托那种连他自己也无法给出明确定义的，有别于传统无穷观的“实无穷意识”都无法回答芝诺的问题。所以，公元前465年的古代芝诺悖论仍然是公元后2000年的观在的芝诺悖论，不仅名称、内容、外貌完全无需更改而且由于依然如古的合适的生存条件，使它在2500多年中繁殖了许多后代，成了庞大的“芝诺悖论家族”，威风凛凛，傲视天下！这个悖论家族中较著名的有与“无穷小”相关的第二次数学危机和与“无穷大”相关的第三次数学危机。是传统的实、潜无穷观产生第二、第三次数学危机，毫无疑问，人们绝对不可能在这同样的实、潜无穷观中解决第二、第三次数学危机，不要抱任保幻想！这也就是我们义无反顾，敢说第二次数学危机仍然存在于数学中，敢向貌似完美、和谐的无穷级数论，极限论，无穷小理论，无穷大理论及无穷集合论中一些错误内容批评的根本原因，只要人类还生存，还有人类的科学，科学要发展，这样的批评工作就不可避免，仅是迟与早的问题。
解决芝诺悖论及其翻版，必须从构造科学的新无穷理论体系开始，而人类几千年的科学史已为我们准备了开展这一工作的充分与必要的条件。
四、芝诺悖论对数学中现有数谱的挑战。
2500多年前的芝诺以悖论的形式向人们发问：数学中与无穷概念相关的最小的数量形式是什么、有多大？当时的数学中确实没有任何一种数量形式可被用来表示“点”与“瞬间”这类事物。由于这类问题一直无法得到解决，终于又爆发了另一次理论危机，以“微积分中的dx是什么、有多大？”来重复2500年前芝诺悖论所提出的问题，这就是众所周知的第二次数学危机。微积分的历史告诉我们，人们在计算中可以不管“dx”有多大，想用“令dx为0”，“取极限”，“取标准数”或别的什么语言来满足我们感观上的需要都无所谓，反正按照那些公式如此这般去操作，保证能得出正确的结果。正如芝诺的学生满足于自己确实能从后面追上乌龟这样一件事实。但情况并不是这么简单！人们公认，第二次数学危机所关心的并不是微积分计算的过程及计算结果如何，而是象芝诺悖论那样，关心的是人们该如何从理论上来认识，解释其过程与结果。可见，正是因为在到目前为止的数学中的任何一种数量形式都无法被用来描述芝诺悖论中的“点”及“瞬间”，所以人们不仅动不了芝诺悖论一根毫毛，而且调和级数悖论，“dx”悖论照生不误。现代数学中“与无穷相关的最小的数量形式”的所有理论，不管用什么语言来表述，在芝诺悖论面前全部原形毕露，无论是在标准分析或非标准分析中，阿基里斯仍然追不上乌龟，飞矢仍然不动 [3][6][7] ！
不少人认为实数集合可以代表线段上的点集，任何一个点都可以用实数来表示。如果人们真的可以用实数来完成数学上的对“点”，对“瞬间”的量的描述，那么芝诺悖论早在人们发现实数时就可以轻而易举地被解决了，并且也不会出现什么“第二次数学危机”！可是别忘了，任何实数，不管多小，都是有穷的数量形式，而第二次数学危机的经验告诉我们，任何有穷的数量形式，不管多小，都无法完成对“点”及“瞬间”的数量上的描述。此外，线段上的“点”这个数学实体自从它进入数学以来，就被定义为一种与有穷数无关的“无度性”的几何量。当然，对任何一个有穷的数量形式，为了方便，人们可以用一个数学实体来表示它。在应用数学中，人们用“点”来表示某个数，但这并不意味着“点”的“无度性”变成了“有度性”，也不意味着实数的“有度性”变成了“无度性”。线段上的“无度性”的点并不等价于某一有穷的实数或有理数（人们曾认为线段上的点与有理数一一对应）。实数的有穷性与线段上的点的“无度性”决定了实数集合与线段上的点集是两个具有本质性区别的集合，之间的元素具有本质性区别，两个集合之间仅具备一种为了方便的，勉强的，形式上的单射关系而不是具备满射关系。那种“线段上的任何点可以用实数来表示”的说法没有任何理论依据，并且与实数的“有穷性”及点的“无度性”性质相悖，不管现有数学中有多少巧妙的“证明”试图劝人们相信“实数与线段上的点一一对应”，那些“证明”肯定都是错误的。任何两个实数都是有穷数，它们之间充满空隙，这些空隙中至少含有象微积分中的“dx”这样一类人们公认存在于数学中的非有穷实数又非零的数量形式，更何况还含有连数性都不具备的其它的“无度性”的几何点。所以，从“有穷性”这个数的性质来考虑，实数根本不可能具备连续的条件，任何两个实数之间都充满空隙，实数是不连续的！从理论上讲，实数的不连续性并没有比有理数的不连续性情况好多少。从有穷数性的角度来说，实数的不连续性完全等价于有理数的不连续性！
2500多年前，芝诺以悖论的形式呼吁数学家们扩充数域，创造出能表示“点”，“瞬间”这类既非有穷数，又非零的数量形式，而到了三百多年前的微积分时代，贝克莱又以“dx悖论”的形式再版芝诺悖论，重新呼吁数学家们扩充数域，创造出既非有穷数，又非零的能表示微增量dx的数量形式。2500多年来，这个任务一直压在人们的心头，不知耗费人类多少心血，但人类始终无法创造出这样的数量形式。
历经几千年，人们无法构造出芝诺和贝克来所呼吁的那种既非有穷数又非零的数量形式，关键的是现有的与传统无穷观相关的数学基础理论根本就不允许有这样一种数量形式的存在，这是解决芝诺悖论的困难所在[4][5]。解决芝诺悖论及其翻版必须从构造与新的、科学的无穷观相对应的数谱入手。
五、结论
2500多年的科学史告诉我们，人们在解决芝诺悖论上的工作思路是错误的――没有从构造新的无穷观下手，没有从构造与新的无穷观相对应的数量形式下手。所以，不管如何努力，只能是徒劳。
构造既定性又定量的无穷观，构造与新的无穷观相对应的数谱，才是解决芝诺悖论，解决所有芝诺悖论翻版、彻底解决第二、第三次数学危机的唯一途径。
迎接数学哲学的新时代，迎接数学基础的新时代，迎接数学的新时代。
参考文献：
（1）张建军，科学的难题――悖论（M），杭州：浙江科学技术出版社，1990。
（2）F.N.麦吉尔主编，世界哲学宝库――世界225篇哲学名著述评（M）。《世界哲学宝库》编委会译。北京：中国广播电视出版社，1991。
（3）欧阳耿，数学分析中悬而未决的问题（J），吉安师专学报，1995，16（5）：29－34。
（4）欧阳耿，数学中与新的无穷观相对应的新数谱（J）。黑龙江水专学报，1996，23（2）：61－62。
（5）欧阳耿，数学中的新数谱（J），吉安师专学报，1996，17（5）：7－10。
（6）欧阳耿，A New Way out of Pending Problem in Mathematics（J）。黑龙江水专学报，1998，25（3）：105－112。
（7）欧阳耿，数学中实无穷与潜无穷的几个问题（J）。吉安师专学报，1998，19（6）：26－28。
（8）欧阳耿，康托关于实数集合不可数的证明是错的（J）。黑龙江水专学报，1998，25（4）：116－117。
（9）欧阳耿，现有集合论中一种神秘的错误（J）。西北大学学报，2000，30（4）：8－11。
（10）欧阳耿，重新认识第三次数学危机（J）。咯什师院学报，2000，20（2）：69-72
Two Vital Defects in Mathematical Basic Theory
OUYANG Geng
（Zhangzhou Teacher’s College, Fujian, 363000, P.R.China）
Abstract: The old and new challenges by Zeno’s paradox are discussed deeply in the way differed from the previous scientists. The author answers the pending question successfully: Why Zeno’s paradox has never been solved so far? The defects in the basic theory of mathematics are listed and the solutions sought.
Key words: Zeno’s Paradox, refurbished version, infinite theory, number-spectrum, basis, mathematical crisis
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发表于 2006-3-16 07:07
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