再论凭中学数学常识发现中学数学一系列重大错误 ——数列最起码常识让5千年都无人...

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再论凭中学数学常识发现中学数学一系列重大错误         
        ——数列最起码常识让5千年都无人能识的自然数一下子暴露出来
            黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
   [摘要]数列最起码常识让5千年都无人能识的标准无穷大自然数及其倒数一下子暴露出来从而揭示有首项的无穷数列必有末项。中学的集合、几何起码常识和区间概念凸显直线A沿本身伸缩或平移后就≠A了（所以“直线公理”和“R轴完备、封闭”论其实是将无穷多各异直线误为同一线的“以井代天”的“井底”误区），凸显存在：①几千年都无人能识的等长却不“等势”从而不合同的直线段；②2500年都无人能识的<（>）R一切正数的标准无穷大、小正数。不识这类“更无理”的数和直线段使中学几百年解析几何一直张冠李戴地将两异点集误为同一点集，从而产生出病态的“高深”理论：直线段的部分点可与全部点一样多；射线S沿S正向平移变为射线S′≌S是S的真子集;巴拿赫-塔尔斯基定理。
  [关键词]N外标准无穷大自然数及N最大元；貌似重合的伪二重直线段；等长却不“等势”的直线段；用而不知的“更无理”数；推翻百年集论和百年“R轴各点与各标准实数一一对应定理”；推翻巴拿赫-塔尔斯基定理；保距变换；著名数学家朱梧槚
1 导言：不能不重视著名数学家朱梧槚的“超人”发现
百年集论被誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。“最伟大数学家”希尔伯特断言：任何人都不能推翻集合论。然而中国著名数学家朱梧槚教授及肖奚安、杜国平、宫宁生教授却“超人”地洞察到康脱的集论中的“无穷集都是自相矛盾的非集[1]”。这就是说“定义：可与其真子集对等的集称为无穷集”中的“无穷集”是自相矛盾的非集；换言之，根本不存在可与其真子集对等的无穷集。不少人认为这是与4位数学家身份极不相称的“怪论”。本文证明真正的无穷集均不可对等于其任何真子集。一切已知自然数n组成无穷数列（集）N，N各元n均有对应标准自然数n+1等等。自识自然数5千多年来数学一直未能证明存在标准无穷大自然数。然而数列最起码常识凸显凡有首项的无穷数列必有末项从而使N的最大元等标准无穷大自然数及其倒数一下子暴露出来推翻集论立论的论据:N各元n的对应数n+1、2n、…均∈N。所以须重新认识级数论。法制界有将无罪人判为死刑犯的悲剧，科教界有将自相矛盾的病态学说误为“最伟大创造”的悲剧。本文是[2][3]的继续与深化。
公元前1100年中国人商高同周公的一段对话谈到了勾股定理。这说明人类认识直线段已有几千年。“科学起码常识”：数学，尤其是“已非常成熟”的初等数学中关于自然数和直线（段）方面的知识绝不可能有重大错误;数学的公理、定理绝不可能被推翻。有一种很有市场的“凡是”：凡是连“小人物”也谈不上的“草根”绝不可能有重大科学发现。挑战“绝对不可能”的“反科学”的“超人”发现来自于太浅显的：①几何起码常识c：重合相等的图形必合同。②集合起码常识d：数集A=B是说A的元x与B的元y必可一一对应相等即A各元x均有与之对应相等的数y∈B且B各元y均有与之对应相等的数x∈A。③区间概念。故高中生也有能力分辨本文是歪理邪说还是数学有史五千年来的最重大发现？从而也能一下子认识几千年都无人能识的等长却不“等势”从而不合同的直线段。一次函数y（x）=kx+b是初等数学中最简单的函数，①②③显示“非常成熟”的初等数学对这类y的值域的认识一直存在极重大错误。
2 不识“更无理”数使中学几百年解析几何一直误将两异直线段误为同一线段——由发现无理数到发现“更无理”的标准无穷小、大正数竟须历时2500年
2.1 集合、几何起码常识凸显直线A沿本身伸缩或平移后就≠A了
因与x∈R相异或相等的实数均可表为y=x+△x（△x可=0也可≠0）故x变换为实数x+△x的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴的元点x沿R轴方向移动变为还在g内的点x′=x+△x，即实数的改变可形象化为管道g内点的位置的改变（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的点是同一点）。数学的图形可是离散的点的点集。点集：……（这不是省略号）各点可作保距或非保距平移。至少有两元的点（数）集 A各元x保距（偏离原位）变为x′=x+△x组成的B≌A，因恒等变换是保距变换故当x′=x时B=A≌A。A≌B≠A是说A与B是不同地点的同一图形。铁球是铁分子的集合A，A变形为铁板是因其组织结构变了，A平移到新位置成A′还是由移动前的所有铁分子组成的集，这移动只是改变各分子的位置而不能改变A的组成成员和组织结构。同样，保距变换是刚体运动从而不改变点集的组成成员和组织结构。
在纸片A上画上几个点形成一点集。将A挂在画有直角坐标系的黑板上后再让A沿黑板不断移动（保距变换），此时各点的位置坐标不断变化但点集的组成成员、组织结构、各成员(所画上的那几个点)之间的距离关系，始终都没变。这说明：点的坐标与点本身有根本区别从而使点集与数集有根本区别。
设A=｛x｝表A，变量x的变域是A；A=｛（x，y）｝表A是元为有序数偶（x，y）的数偶集；A=｛（x，y），（，y′）｝表A是由数偶（x，y）和“单身”数y′组成的混合集，（，y′）表示单身y′若变为非单身则其只能处于有序数偶的右边。其余类推。任一数集A=｛x｝同时也是数偶集A=｛（x，x）｝。各（x，x）中的x可改与x+1配对成（x，x+1）。
h定理1：至少有两元的点（数）集A=｛x｝（B=｛y｝）任两异元x与x+△x（y与y+△y）之间的距离是|△x|（|△y|），A≌B的必要条件是|△x|=|△y|即△y =±△x，充分必要条件是A各元与B各元有一一对应关系：x&#8596;y=±x+常数c；所以A≌B的必要条件也可表为：A各元x有对应y（x）∈B且△y =±△x。
证：由A≌B的定义A≌B时A与B的元必可有一一对应关系：x&#8596;y=y（x），距离|△x|=|（x+△x）-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|即△y=±△x；而当且仅当y=y（x）=±x+c时才有△y=y（x+△x）-y（x）=±（x+△x）+c-（±x+c）=±△x。证毕。
同理，二、三维空间点集A≌B的必要条件是...。
注意：欲判断A&#8834;R（各元均由x代表）与B&#8834;R是否≌时，若A各元均由x代表则B各元须均由y=y（x）（x∈A）代表，因若A≌B则A各元x保距变为y=y（x）组成B=｛y（x）｝≌A。
数列N各数n变为一对数（-1,1）形成由各有序数偶（-1,1）组成的数偶序列X=｛（-1,1）（-1,1）（-1,1）...｝，N～X表示N有多少个项X就有多少个项。X增一数1就变为由数偶和数1组成的混合序列E=｛1,（-1,1）（-1,1）（-1,1）...｝，E中“单身”数1与任一-1配对成（-1,1）的同时-1的原“配偶”1就成一新单身数，所以E中正、负数无论怎样重新配对后都必有一单身数1从而使E不能成为各项是（-1,1）的数偶列。为什么？因E中正数比负数多。所以E中：所有1组成的无穷数列的项多于所有-1组成的数列（～X～N）的项。这说明X～N增一项变为新序列中的项多于X～N的项。“故有革命结论：一给定无穷数列增（减）1个项后必比原来多（少）1个项，...[4]”。
所以有的数列（其各数可两两配对）可变为数偶列，而有的数列就不可。一交错级数1-1+1-1+1-1+...的项不可两两配对，然而课本却有：可对其加括号变为（1-1）+（1-1）+（1-1）+...=0。这是几百年的重大错误。
h定理2（真扩集定理）（参见[5]）：非空A&#8834;K的元必少于K的元从而使A不可～KéA，所以凡～K的集必不&#8834;K。
证：各元可两两配对的数集A各元两两配对后形成的数集还是原数集，因这配对没使A的元有任何增减。数集A=｛x｝=｛（x，x）｝。A的元均用x代表，另一A=A的元均用○x=x代表,各x和○x一一配对后组成既是数偶集同时也是数集的W=｛（x，○x=x）｝=A∪A=A，A∪A中1一A=｛○x｝单独增元y≠○x变为它的真扩集K=A∪｛y｝=｛○x｝∪｛y｝，W=A∪A相应变为由数偶和“单身”数y组成的混合集W′=A∪（A∪｛y｝）=A∪K=W∪｛y｝=｛（x，○x=x），（，y）|○x与y均∈K｝。W′中一单身数y∈K与任一非单身x（x只能与K的元配对）配对的同时这x的原“配偶”○x就成一新单身∈K，因此W′中的数不论怎样重新配对（x只能与○x及y配对）都不能改变W′=A∪K中A=｛x｝各元x均有配偶∈K而无单身，K总有单身而无配偶∈A的格局。为什么？因K的元多于A的元从而使A不～K。这说明A增元变为A的真扩集K，K的元必多于A&#8834;K的元。证毕。
“重新配对”是指W′中各数之间的重新配对，“魔术师”“神不知鬼不觉”地将W′外数“拉进来”当作W′中数参与新配对就会出现迷惑世人百多年的假象：......。没有思维望远（显微）镜从而目光太短浅的“肉眼”数学一直被无穷对象中的假象迷惑，就如幼稚小孩以为魔术师真能无中生有那样。
h定理3：至少有4元的K=｛x｝的任何真子集A=｛x｝&#8834;K都不可≌K。
证1：因保距变换不能改变点集的组成成员，故K去掉部分成员（元）变为A&#8834;K是非保距变换使A不≌K。证2：A≌K的必要条件是K～A。据h定理2A&#8834;K的元少于K的元，故K不≌A。证3：将A的元记为y=x∈A&#8834;K，因K的元x与A的元y=x不可有关系：x&#8596;y=x故据h定理1K不≌A。证毕。
文[6]有一改天换地的改偶定理：
h定理4（改偶定理）：各x与各y一一配对成一无穷“夫妻”有序数偶集F={（x，y）}内“男、女”双方中有“人”“另结新欢”改配偶使有的人变成“单身”后，一方出多少个单身，对方也只能出多少个单身。
证：F中任一非“单身”改与另一非单身配为新“夫妻”各自的原“配偶”就成一对可配对的单身，一单身x（y）“再婚”就或使对方一单身也再婚或拆散一对夫妻而生一与x（y）同一方的新单身，没别的可能。故F中人任意改配偶(新配偶必是F中人) 重新配对后一方出n个单身的同时对方也只能出n个单身。证毕。
h定理5：数集A非恒等变换地保序变换为B必≠A。
证：A各数在集内分别都有一定的大小“名次”，例在A={0，1，2}中：2是第一大的数，1是第二大的数，0是第三大的数；A各元x保序变为x2组成B={0，1，4}也有第一大、第二大、第三大的元。大小互不同的鸡组成集合A和B，a（b）是A（B）中第n大的鸡，显然若A=B则a和b必是同一鸡。任一A=｛x｝各数x保序变为y=y（x）组成B=｛y（x）｝，x∈A在A中的大小名次与y（x）∈B在B中的大小名次是一样的，显然若A=B则x与y（x）必是同一数，故若y（x）不≡x则B≠A。证毕。
h定理6：若点集A（至少有两元）各元点x保距变为点y（x）生成B=｛y（x）｝≌A则A各点x到A任一固定点x0的距离ρ=|x-x0|=ρ′=|y（x）- y0（x0）|=B各元点y（x）到点y0（x0）∈B的距离，即ρ′与ρ是同一距离函数。
证：由A≌B的定义ρ′=ρ。证毕。

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第一，自然数数列的首项是0或1，末项是什么？
第二，无穷小数是什么？它比所有1/n 小么？！