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圆 O 外有两点 A,B ,求作圆上一点 P ,使得 ∠APO=∠BPO

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发表于 2019-4-2 16:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2019-4-9 17:36 编辑

最近发现很多题目不会,其中一道题目是这样的:
圆O外有两点A、B,求作圆上一点P,使 ∠APO=∠BPO。
无标题.png
发表于 2019-5-6 02:42 | 显示全部楼层
原来这道题是大名鼎鼎的阿尔哈森问题(Alhazen's problem)。

Alhazen.jpg
Al-Hassan Ibn al-Haytham(拉丁语为Alhazen),965年出生于巴士拉,于1040年开罗去世。

阿尔哈森(Alhacen、Alhazen),或:伊本·阿尔·海瑟姆(Ibn al-Haytham),古代穆斯林科学家,生于大约1000年前的今伊拉克地区。他是较早采用实验方法进行科学研究的古代科学先驱之一,主要成就在光学方面。其研究方法和成果对后人影响颇大(主要是欧洲学者),有七卷本《光学宝鉴》传世。


                               
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阿尔哈森原题是几何光学问题:在圆O上求点P,使得从A点发出的光线经P反射抵达B点。
显然这是要求以A、B为焦点的椭圆且与圆O相切的切点问题。阿尔哈森对该问题的讨论采用的是纯几何方法,篇幅较长。

引申问题就是:切点P是否能用尺规作出?直到1997年,英国数学家Peter Neumann用抽象代数证明P点无法用尺规作出(解决方法类似古希腊三大作图问题)。
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发表于 2019-4-2 16:19 | 显示全部楼层
:lol:lol@ccmmjj126;很多题目不会不正常吗?:lol:lol:lol:lol

点评

纯几何题目,近20年做过不少,一般都是随遇而做,以前还是蛮顺的,很少出现束手的情况。最近连续碰到的题目,居然都下不了手,要解高次方程。 兄台帮我找找看,表述这么简洁的题目,难道不能尺规作图?  发表于 2019-4-2 18:12
发表于 2019-4-2 20:53 | 显示全部楼层
尺规作图的问题还真不是容易的
发表于 2019-4-4 13:18 | 显示全部楼层
连接A,B,O成三角形,作角AOB的角平分线交圆于P点,P即为所求,剩下证明用到弦切角定理。
发表于 2019-4-4 20:25 | 显示全部楼层
楼上只需改变OA的长度就会发现这是不对的。个人认为因为PA+PB的长度在P点取最小,要用到椭圆,尺规作图是不可解的。
发表于 2019-4-6 00:00 | 显示全部楼层
NewExpansion 发表于 2019-4-4 20:25
楼上只需改变OA的长度就会发现这是不对的。个人认为因为PA+PB的长度在P点取最小,要用到椭圆,尺规作图是不 ...

是的。问题等价于作一个以A、B为焦点的椭圆与圆O相切。
发表于 2019-4-6 12:45 | 显示全部楼层
经我用几何画版导入函数分析,要求一个高次曲线和圆的交点,这个交点是无法作出的。
如下图,红色轨迹象个水滴,就是这高次曲线的部分,如果我记忆或推算得不错的话,这是条四次曲线。
无标题.png

点评

ccmmjj先生!诚心请教:在三角形 ABC 内找一点 P,使 ∠APB=∠APC,可以有吗?  发表于 2019-4-11 13:25
发表于 2019-4-6 12:49 | 显示全部楼层
当然,认为它是求椭圆与圆的切点也是不错的,这应该是尺规作图不可能问题。
发表于 2019-4-12 22:27 | 显示全部楼层
的确是四次方程,复数表示简单,图片假设O在原点,圆O是单位圆,为符合习惯,把P改下成Z,容易看出没有平方项。

四次曲线

四次曲线
发表于 2019-4-14 11:56 | 显示全部楼层
圆上一点和圆外两点建立等分角1.GIF
如图,C为△OAB外接圆和AB中垂线CD的一个交点,
D为OA和CD的交点,
E为CD上任一点,
F为△ABE外接圆和OE的交点,
易知∠OFA=∠OFB,
粗线为F的轨迹,其与⊙O交点P即为所求.
不明白F的轨迹的几何属性,所以该轨迹为描点法得到的,
描点法也许也可归为几何法,不算纯几何法吧.
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